Дан треугольник авс. плоскость, параллельная прямой ав, пересекает продолжение стороны ас этого треугольника в точке м. , а стороны вс- в точке n. найдите длину отрезка mn , если ab=10, am: ас=2: 5

Теорема: Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

В данном случае плоскость, которой принадлежит ∆ АВС, проходит через АВ, параллельную другой плоскости и пересекает её, поэтому линия MN пересечения этих плоскостей параллельна АВ. 

Плоскость, параллельная АВ, пересекает не сами стороны, а продолжения сторон АС и ВС, поэтому проходит вне треугольника, МС=АМ+АС, и  МN  > AB (см. рисунок)

Примем коэффициент отношения АМ:АС=а.

 Тогда АС=5а, АМ=2а, а АМ=5а+2а=7а.

Плоскость параллельна АВ, следовательно, пересекает плоскость, в которой лежит треугольник, по прямой, параллельной АВ. 

Соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и MN секущими АМ и СN равны. ⇒ ∆ АВС~∆ AMN ( их углы равны). 

Из подобия следует отношение:

АМ:АС=MN:AB

7a:5a=MN:10⇒

MN=70:5=14 (ед. длины)