Дан параллелограмм PXYZ. На его сторонах отмечены точки M,N,A,O так, что PM=AY, XN=OZ, точка M лежит на отрезке PX, N на отрезке XY, A — на YZ, O — на ZP. Докажи, что эти точки образуют параллелограмм.

Чтобы доказать, что точки M, N, A и O образуют параллелограмм, нам нужно показать, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны друг другу.

1. Докажем, что стороны MP и XO равны.
У нас есть следующая информация:
- PM = AY (дано)
- XN = OZ (дано)
- PX || YZ (по определению параллелограмма)

Так как PM = AY, а PX || YZ, мы знаем, что треугольники MPX и AYX подобны. Поэтому отношение длин сторон должно быть равно:
MP / PX = AY / YX

Аналогично, так как XN = OZ и PX || YZ, мы знаем, что треугольники NOX и ZOY подобны. Поэтому отношение длин сторон должно быть равно:
XN / PX = OZ / YZ

Из этих двух равенств мы можем сделать следующее заключение:
MP / PX = AY / YX = XN / PX = OZ / YZ

Объединяя эти равенства, мы можем сказать, что MP = XO.

2. Докажем, что стороны MN и AO равны.
Мы знаем, что PX || YZ и противоположные стороны параллелограмма равны. Из этого следует, что и треугольники MNP и AOY подобны. Поэтому отношение длин сторон должно быть равно:
MN / NP = AO / OY

Также заметим, что PX || YZ и противоположные стороны параллелограмма равны. Из этого следует, что и треугольники XPY и YZA подобны. Поэтому отношение длин сторон должно быть равно:
NP / PY = OY / YZ

Из этих двух равенств мы можем сделать следующее заключение:
MN / NP = AO / OY = NP / PY = OY / YZ

Объединяя эти равенства, мы можем сказать, что MN = AO.

3. Докажем, что стороны NA и MO равны.
Мы знаем, что XY || ZP и противоположные стороны параллелограмма равны. Из этого следует, что и треугольники XNY и ZPO подобны. Поэтому отношение длин сторон должно быть равно:
NA / AX = MO / OZ

Мы также знаем, что XY || ZP и противоположные стороны параллелограмма равны. Из этого следует, что и треугольники YXP и POZ подобны. Поэтому отношение длин сторон должно быть равно:
AX / XY = OZ / ZP

Из этих двух равенств мы можем сделать следующее заключение:
NA / AX = MO / OZ = AX / XY = OZ / ZP

Объединяя эти равенства, мы можем сказать, что NA = MO.

Таким образом, мы показали, что все стороны параллелограмма равны, и, следовательно, точки M, N, A и O образуют параллелограмм.