Цилиндр, радиус которого равен образующей, вписан в сферу. Найдите площадь сферы, если радиус цилиндра равен 2​

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать некоторые геометрические свойства цилиндра и сферы.

Для начала рассмотрим цилиндр, радиус которого равен образующей.

Поскольку радиус цилиндра равен образующей, значит, образующая проходит через центр окружности основания цилиндра и параллельна его боковой поверхности. При этом диаметр основания равен диаметру окружности, вписанной в этот цилиндр.

Далее, вспомним свойство вписанной окружности: она всегда касается основания цилиндра посередине его боковой поверхности. Поэтому, если мы положим основание цилиндра на вид, то цилиндр будет иметь форму прямоугольного треугольника, длина одной из сторон которого будет равна образующей.

Теперь воспользуемся формулой площади сферы:

S = 4πR^2,

где S - площадь сферы, а R - радиус сферы.

Для решения задачи нам нужно найти радиус сферы. Обратимся снова к прямоугольному треугольнику, образованному основанием цилиндра.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

В нашем случае образующая цилиндра является гипотенузой, а катетами являются радиусы сферы (R) и основания цилиндра (2R), поскольку радиус цилиндра равен образующей.

Тогда у нас получается следующее уравнение:

R^2 + (2R)^2 = c^2,

R^2 + 4R^2 = c^2,

5R^2 = c^2.

Теперь можем найти значение радиуса сферы, подставив полученное уравнение в формулу площади сферы:

S = 4πR^2,

S = 4π * (5R^2),

S = 20πR^2.

Таким образом, площадь сферы равна 20πR^2.