1. Алгебра
  2. Числа x и y положительные,

Числа x и y положительные, при чем x+y=5. какое найменшее значение может принимать выражение
\frac{1}{x} + \frac{1}{y}
​

Лиза2005111111111 Лиза2005111111111    1   03.10.2019 21:33    0

Ответы
coolparschin20 coolparschin20  09.10.2020 15:25

x + y = 5  отсюда y = 5 - x.

Рассмотрим функцию f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{5-x}

Производная функции: f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(5-x)^2} и приравняем ее к нулю.

-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{(5-x)^2}=0~~~\bigg|\cdot x^2(5-x)^2\ne0\\ \\ x^2-(5-x)^2=0\\ \\ (x-5+x)(x+5-x)=0\\ 5(2x-5)=0\\ x=2.5

(0)____-_____(2.5)____+___(5)___+___

В точке x = 2.5 производная функции меняется знак с (-) на (+), следовательно, x = 2.5 - относительный минимум.

y = 5 - 2.5 = 2.5

ответ: при x = y = 2.5 выражение \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right) принимает наименьшее значение.

Второй без производной)

Для x,y> 0 применим неравенство Коши

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\\\ \dfrac{x+y}{xy}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\ \\ \dfrac{5}{xy}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\\ \\ \sqrt{xy}\leq\dfrac{5}{2}

При этом равенство достигает наименьшего значения при x=y=\dfrac{5}{2}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Алгебра
olenkadergunov olenkadergunov  29.07.2019 06:20
Три ученицы купили билеты на три соседних места.какова вероятность того что место первой ученицы будет посередине если место выбрано наугад...
руслан746 руслан746  29.07.2019 06:20
Набор для рисования стоит 450 рублей.какое наибольшее число таких наборов можно купить на 2000 руб.во время распродажи,когда скидка составляет 40%?...
lenchikkos lenchikkos  29.07.2019 06:20
1. найдите значение выражения: 0,9 · ( -10 )2 – 120. 2. постройте график функции у = 4х - 1. с графика укажите значение функции, соответствующее значению аргумента -2,5. 4....
kotяplay12 kotяplay12  29.07.2019 06:20
Постройте график функцииy=x²-4x+3.с графика решите неравенство...
malaxov04 malaxov04  29.07.2019 06:20
Решить систему уравнений {x+5y=11 {7x-y=5...
stasya10687 stasya10687  29.07.2019 06:20
Постройте график функции y= -x^2. найдите: а) значение y, если х равен: -3; -2; 0; 1; б) значения х, при которых y=-1; наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3;...
Mrfest Mrfest  29.07.2019 06:20
Відстань між двома пристанями 144 км. катер подолав її за 3 год швидше, ніж проти течії. швидкість течії річки - 4км/год. знайдіть власну швидкість катера....
моюр моюр  15.09.2019 12:30
Найдите разность прогрессии. a15=37 a25= 82...
allan1012 allan1012  15.09.2019 12:30
«из двух населённых пунктов, растояние между которыми 43 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. какое расстояние будет между ними через 3 ч, если известно,...
Карик007 Карик007  15.12.2021 08:16
‌ ‌‌1)Проверьте принадлежат ли графику линейной функцииУ: 2х + 5Точки А(2,7) В(3,11) С(0;5) А(х,у)2)Как расположены границы функций на координатной плоскости?у=2х-1. У=7х+9У=2х+5....

Популярные вопросы