А) решите уравнение корень из 3 sinx+cosx=2 б) укажите корни, принадлежащие интервалу (pi/2; 5pi/2)

Ответы

егорка93 06.07.2020 08:18

√3 sinx+cosx=2
Воспользуемся формулами двойного угла и перейдем к аргументу х/2:
√3*2sin(x/2)cos(x/2)+cos²(x/2)-sin²(x/2)=2cos²(x/2)+2sin²(x/2)
√3*2sin(x/2)cos(x/2)-cos²(x/2)-3sin²(x/2)=0
Разделим на cos²(x/2)
√3*2sin(x/2)/cos(x/2)-1-3sin²(x/2)/cos²(x/2)=0
√3*2tg(x/2)-1-3tg²(x/2)=0
Обозначим у=tg²(x/2) тогда
√3*2y-1-3y²=0
3y²-2√3*y+1=0
D=4*3-4*3*1=12-12=0
Один корень
у=(2√3)/(2*3)=1/√3 Возвращаемся к переменной х
tg²(x/2)=1/√3
$tg(x/2)= \sqrt{ \frac{1}{ \sqrt{3} } } = \frac{1}{ \sqrt[4]{3} } \\ 
 \frac{x}{2} =arctg(\frac{1}{ \sqrt[4]{3} } )+ \pi k \\ 
x =2arctg(\frac{1}{ \sqrt[4]{3} } )+ 2\pi k \\$
k - любое число
б) k=0 $x =2arctg(\frac{1}{ \sqrt[4]{3} } )$
Это около 105°. Принадлежит данному интервалу
При k=1 и больше выходим из рассматриваемого интервала. Только один ответ тогда

ответ:
$a)2arctg(\frac{1}{ \sqrt[4]{3} } )+ 2\pi k \\ 
b)2arctg(\frac{1}{ \sqrt[4]{3} } )$