А) Определи характер монотонности заданной функции y=7cosx+sin6x−14x.

Для определения характера монотонности функции y = 7cos(x) + sin(6x) - 14x нужно проанализировать её производные. Для этого первым делом найдем производную функции по x.

y' = (d/dx)(7cos(x)) + (d/dx)(sin(6x)) - (d/dx)(14x)

Для нахождения производной нам понадобятся несколько правил дифференцирования:
1. (d/dx)(c) = 0, где c - это константа.
2. (d/dx)(cos(x)) = -sin(x)
3. (d/dx)(sin(x)) = cos(x)
4. (d/dx)(kx) = k, где k - это константа.
5. (d/dx)(f(x) + g(x)) = (d/dx)(f(x)) + (d/dx)(g(x))
6. (d/dx)(cf(x)) = c*(d/dx)(f(x)), где f(x) - функция, а c - константа.

Применим эти правила к каждому слагаемому в выражении для y':

y' = (-sin(x))(7) + (cos(6x))(6) - 14

Упростим это выражение:
y' = -7sin(x) + 6cos(6x) - 14

Теперь проанализируем полученное уравнение, чтобы определить характер монотонности функции y.

1) Найдем точки, где производная равна нулю:
-7sin(x) + 6cos(6x) - 14 = 0

2) Определим знак производной между найденными точками, чтобы определить характер монотонности:
Выберем тестовые значения x в интервалах между точками, где производная равна нулю, и вне этих интервалов. Определим знак производной для этих тестовых значений x.

3) Составим таблицу знаков производной и изобразим на оси x интервалы, где она положительна, отрицательна или равна нулю.

4) Определим характер монотонности функции y в каждом из найденных интервалов, используя информацию из таблицы знаков производной.

Обратите внимание, что для упрощения расчетов воспользуемся несколькими свойствами тригонометрии:
sin(x) = sin(-x)
cos(x) = cos(-x)

Решение:

1. Найдем точки, где производная равна нулю:
-7sin(x) + 6cos(6x) - 14 = 0

2. Определим знак производной между найденными точками:
Выберем тестовые значения x, чтобы понять, когда производная положительна, отрицательна или равна нулю.

- Рассмотрим интервал (-∞, 0):
Выберем x = -1:
-7sin(-1) + 6cos(6*(-1)) - 14 = -7sin(-1) + 6cos(-6) - 14 = -0.35 - 2.79 - 14 = -17.14
Производная y' в интервале (-∞, 0) отрицательна.

- Рассмотрим интервал (0, π/6):
Выберем x = 0.1:
-7sin(0.1) + 6cos(6*0.1) - 14 = -7sin(0.1) + 6cos(0.6) - 14 = -0.61 + 5.96 - 14 = -8.65
Производная y' в интервале (0, π/6) отрицательна.

- Рассмотрим интервал (π/6, π/2):
Выберем x = 0.9:
-7sin(0.9) + 6cos(6*0.9) - 14 = -7sin(0.9) + 6cos(5.4) - 14 = -5.94 + 2.58 - 14 = -17.36
Производная y' в интервале (π/6, π/2) отрицательна.

- Рассмотрим интервал (π/2, π):
Выберем x = 2:
-7sin(2) + 6cos(6*2) - 14 = -7sin(2) + 6cos(12) - 14 = 5.82 - 3.43 - 14 = -11.61
Производная y' в интервале (π/2, π) отрицательна.

- Рассмотрим интервал (π, 7π/6):
Выберем x = 3:
-7sin(3) + 6cos(6*3) - 14 = -7sin(3) + 6cos(18) - 14 = 4.36 - 1.61 - 14 = -11.25
Производная y' в интервале (π, 7π/6) отрицательна.

- Рассмотрим интервал (7π/6, 3π/2):
Выберем x = 4.9:
-7sin(4.9) + 6cos(6*4.9) - 14 = -7sin(4.9) + 6cos(29.4) - 14 = -5.18 + 1.4 - 14 = -18.78
Производная y' в интервале (7π/6, 3π/2) отрицательна.

- Рассмотрим интервал (3π/2, 2π):
Выберем x = 5.5:
-7sin(5.5) + 6cos(6*5.5) - 14 = -7sin(5.5) + 6cos(33) - 14 = -6.96 - 5.57 - 14 = -26.53
Производная y' в интервале (3π/2, 2π) отрицательна.

3. Построим таблицу знаков производной и изобразим ее на оси x:

Inter- | -∞ | 0 | π/6 | π/2 | π | 7π/6 | 3π/2 | 2π
vals |
-------|-----------|-------------|-----------|-----------|-------------|-------------|-----------|-----------
y' | - | - | - | - | - | - | - | -

4. Определим характер монотонности функции y в каждом из найденных интервалов:

- В интервале (-∞, 0) функция y убывает.
- В интервале (0, π/6) функция y убывает.
- В интервале (π/6, π/2) функция y убывает.
- В интервале (π/2, π) функция y убывает.
- В интервале (π, 7π/6) функция y убывает.
- В интервале (7π/6, 3π/2) функция y убывает.
- В интервале (3π/2, 2π) функция y убывает.

В результате, можно сделать вывод, что функция y = 7cos(x) + sin(6x) - 14x является убывающей на всей области определения x.