8класс) решить систему уравнений 1 вариант а)x-y=7, xy=-10; б)x+2y=1, 2x+y2=-1; в)x+y=4, x2-y2=8. 2 вариант а)x+y=2, xy=-15; б)2x+y=-1, x2+2y=3; в)x-y=1, x2-y2=7.

Хорошо, давайте рассмотрим каждый из вариантов по очереди и решим данные системы уравнений.

1) Вариант а)
Первое уравнение: x - y = 7
Второе уравнение: xy = -10

Чтобы решить эту систему уравнений, давайте воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения мы можем выразить x = y + 7 и подставить это значение во второе уравнение:

(y + 7)y = -10
y^2 + 7y = -10

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
y^2 + 7y + 10 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Для его решения давайте вспомним формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac

В нашем случае, a = 1, b = 7 и c = 10, подставив эти значения, найдем дискриминант:
D = 7^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9

Дискриминант положительный, поэтому у нас получится два корня. Продолжим решение:

y = (-b ± sqrt(D)) / (2a)
y = (-7 ± sqrt(9)) / (2 * 1)
y = (-7 ± 3) / 2

y1 = (-7 + 3) / 2 = -4 / 2 = -2
y2 = (-7 - 3) / 2 = -10 / 2 = -5

Итак, мы нашли два значения y: -2 и -5. Теперь можем найти соответствующие значения x, подставив каждое из этих значений в любое из исходных уравнений.

Подставим y = -2:
x - (-2) = 7
x + 2 = 7
x = 7 - 2
x = 5

Подставим y = -5:
x - (-5) = 7
x + 5 = 7
x = 7 - 5
x = 2

Итак, система уравнений имеет два решения: (5, -2) и (2, -5).

2) Вариант б)
Первое уравнение: x + 2y = 1
Второе уравнение: 2x + y^2 = -1

Для решения этой системы уравнений, давайте применим метод сложения-вычитания. Нам нужно избавиться от неизвестного y. Для этого давайте умножим первое уравнение на 2:

2(x + 2y) = 2(1)
2x + 4y = 2

Теперь возьмем новое второе уравнение и выразим из него x:

y^2 = -1 - 2x
y^2 = -2x - 1
2x = -y^2 - 1
x = (-y^2 - 1) / 2

Теперь мы можем подставить x в первое уравнение:

(-y^2 - 1) / 2 + 2y = 1
-y^2 - 1 + 4y = 2
-y^2 + 4y = 3

Чтобы решить это квадратное уравнение, давайте перенесем все члены в левую часть и приведем его к стандартному виду:

y^2 - 4y - 3 = 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
a = 1, b = -4, c = -3

Подставим эти значения:

D = (-4)^2 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28

Дискриминант положительный, что означает, что у нас есть два корня. Продолжим решение:

y = (-b ± √D) / 2a
y = (-(-4) ± √28) / (2 * 1)
y = (4 ± √28) / 2

Упрощаем выражение:
y = (4 ± 2√7) / 2 = 2 ± √7

Итак, получили два значения y: 2 + √7 и 2 - √7. Теперь подставим каждое из них в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения x.

Подставим y = 2 + √7:
x + 2(2 + √7) = 1
x + 4 + 2√7 = 1
x = 1 - 4 - 2√7
x = -3 - 2√7

Подставим y = 2 - √7:
x + 2(2 - √7) = 1
x + 4 - 2√7 = 1
x = 1 - 4 + 2√7
x = -3 + 2√7

Итак, система уравнений имеет два решения: (-3 - 2√7, 2 + √7) и (-3 + 2√7, 2 - √7).

3) Вариант в)
Первое уравнение: x + y = 4
Второе уравнение: x^2 - y^2 = 8

Давайте решим эту систему уравнений с помощью метода сложения-вычитания. Нам нужно избавиться от неизвестного y. Для этого давайте возведем первое уравнение в квадрат:

(x + y)^2 = 4^2
x^2 + 2xy + y^2 = 16

Теперь мы можем выразить из этого уравнения x^2 + y^2:

x^2 - y^2 = 8
x^2 + 2xy + y^2 = 16
-----------------------
3x^2 + 2xy = 24

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) x + y = 4
2) 3x^2 + 2xy = 24

Давайте решим первое уравнение относительно y:
y = 4 - x

Теперь подставим это значение во второе уравнение:
3x^2 + 2x(4 - x) = 24
3x^2 + 8x - 2x^2 = 24
x^2 + 8x - 24 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить. Мы можем применить факторизацию или использовать формулу дискриминанта для нахождения корней. Для простоты, давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
a = 1, b = 8, c = -24

Подставим значения:
D = 8^2 - 4(1)(-24) = 64 + 96 = 160

Дискриминант положительный, значит, у нас есть два корня. Продолжим решение:

x = (-b ± √D) / 2a
x = (-8 ± √160) / (2 * 1)
x = (-8 ± 4√10) / 2 = -4 ± 2√10

Итак, мы получили два значения x: -4 + 2√10 и -4 - 2√10. Теперь подставим каждое из них в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.

Подставим x = -4 + 2√10:
-4 + 2√10 + y = 4
y = 4 - (-4 + 2√10)
y = 8 - 2√10

Подставим x = -4 - 2√10:
-4 - 2√10 + y = 4
y = 4 - (-4 - 2√10)
y = 8 + 2√10

Итак, система уравнений имеет два решения: (-4 + 2√10, 8 - 2√10) и (-4 - 2√10, 8 + 2√10).

4) Вариант а)
Первое уравнение: x + y = 2
Второе уравнение: xy = -15

Для решения этой системы уравнений, давайте снова воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения мы можем выразить x = 2 - y и подставить это значение во второе уравнение:

(2 - y)y = -15
2y - y^2 = -15

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
y^2 - 2y + 15 = 0

Это квадратное уравнение. Давайте попробуем разложить его на множители или воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
a = 1, b = -2, c = 15

Подставим значения:
D = (-2)^2 - 4(1)(15) = 4 - 60 = -56

Дискриминант отрицательный, значит, у нас нет рациональных корней. Если выпишем дискриминант в комплексной форме:
D = -56 = -4 * (14) = -4 * (2 * 7) = -4 * (2 * √7 * √-1)

Мы видим корень из -1 в комплексной форме, что означает, что у нас есть два комплексных корня. Продолжим решение:

y = (-b ± sqrt(D)) / (2a)
y = (2 ± sqrt(-56)) / (2 * 1)
y = (2 ± 2√7i) / 2 = 1 ± √7i

Итак, мы нашли два значения y: 1 + √7i и 1 - √7i. Теперь можем найти соответствующие значения x, подставив каждое из этих значений в любое из исходных уравнений.

Подставим y = 1 + √7i:
x + (1 + √7i) = 2
x = 2 - (1 + √7i)
x = 1 - √7i

Подставим y = 1 - √7i:
x + (1 - √7i) = 2
x = 2 - (1 - √7i)
x = 1 + √7i

Итак, система уравнений имеет два решения: (1 - √7i, 1 + √7i) и (1 + √7i, 1 - √7i).

5) Вариант б)
Первое уравнение: 2x + y = -1
Второе уравнение: x^2 + 2y = 3

Для решения этой системы уравнений, давайте снова воспользуемся методом сложения-вычитания. Нам нужно избавиться от неизвестного x. Для этого давайте умножим первое уравнение на 2 и выразим y:

4x + 2y = -2
2y = -1 - 4x
y = (-4x - 1) / 2 = -2x - 1/2

Теперь мы можем подставить это значение y во второе уравнение:

x^2 + 2(-2x - 1/2) = 3
x^2 - 4x - 1 = 3
x^2 - 4x - 4 = 0

Это квадратное уравнение. Мы можем применить факторизацию или использовать формулу дискриминанта для нахождения корней. Для простоты, давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
a = 1, b = -4, c = -4

Подставим значения:
D = (-4)^2 - 4(1)(-4) = 16 + 16 = 32

Дискриминант положительный, значит, у нас есть два корня. Продолжим решение:

x = (-b ± √D) / 2a
x = (-(-4) ± √32) / (2 * 1)
x = (4 ± √32) / 2

Выведем 2 за скобку:
x = 2 ± √8

Мы можем дальше упростить:
x = 2 ± √(4 * 2) = 2 ± 2√2

Итак, мы получили два значения x: 2 + 2√2 и 2 - 2√2. Теперь подставим каждое из них в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.

Подставим x = 2 + 2√2:
2(2 + 2√2) + y = -1
4 + 4√2 + y = -1
y = -1 - 4 - 4√2
y = -5 - 4√2

Подставим x = 2 - 2√2:
2(2 - 2√2) + y = -1
4 - 4√2 + y = -1
y = -1 - 4 + 4√2
y = -5 + 4√2

Итак, система уравнений имеет два решения: (2 + 2√2, -5 - 4√2) и (2 - 2√2, -5 + 4√2).

6) Вариант в)
Первое уравнение: x - y = 1
Второе уравнение: x^2 - y^2 = 7

Для решения этой системы уравнений, давайте снова воспользуемся методом сложения-вычитания. Нам нужно избавиться от неизвестного y. Для этого давайте возведем первое уравнение в квадрат:

(x - y)^2 = 1^2
x^2 - 2xy + y^2 = 1

Теперь мы можем выразить из этого уравнения x^2 - y^2:

x^2 - y^2 = 7
x^2 - 2xy + y^2 = 1
-----------------------
2xy = -6

Теперь у нас