(6sin^2x+5sinx-4)*корень (-7cosx)=0

Вначале найдем ОДЗ функции:
подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е.
-7cosx >=0, cosx<=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен 0:
1) -7cosx=0, cosx=0
x=pi/2 + pi*k - удовлетворяет ОДЗ
2) 6sin^2x+5sinx-4 = 0
Замена: sinx=t, -1<=t<=1
6t^2+5t-4=0, D=121
t1=-4/3 - не удовл. условию замены
t2=1/2
sinx=1/2
x=pi/6 + 2pi*k - эта точка не входит в ОДЗ.
x=5pi/6 + 2pi*k
ответ: x= 5pi/6 + 2pi*k, x=pi/2 + pi*k, где к - целое число

Для решения данного уравнения, нам необходимо использовать свойства и формулы тригонометрии. Давайте разберем каждый шаг по порядку.

Первым шагом я бы разделил уравнение на корень (-7cosx):
(6sin^2x + 5sinx - 4) * корень (-7cosx) = 0
6sin^2x + 5sinx - 4 = 0

Далее, заметим, что это уравнение квадратное относительно sinx. Мы можем заменить sinx на переменную t и решить уравнение относительно t:

6t^2 + 5t - 4 = 0

Теперь, нам нужно решить это квадратное уравнение для t. Для этого, мы можем использовать формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac

Где a = 6, b = 5 и c = -4. Подставляем значения в формулу:
D = 5^2 - 4 * 6 * -4
D = 25 + 96
D = 121

Как результат, получаем значение дискриминанта D = 121.

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных решения для t. Для их нахождения, мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
t1,2 = (-b ± корень(D)) / (2a)

Подставляем значения a, b, и D в формулу:
t1,2 = (-5 ± корень(121)) / (2*6)
t1 = (-5 + 11) / 12
t1 = 6 / 12
t1 = 1/2

t2 = (-5 - 11) / 12
t2 = -16 / 12
t2 = -4/3

Таким образом, мы нашли два значения для t: t1 = 1/2 и t2 = -4/3.

Далее, нам нужно найти значения sinx, соответствующие этим значениям t. Для этого, мы можем воспользоваться соотношением sinx = t.

Итак, у нас есть два решения для sinx:
sinx = 1/2 и sinx = -4/3

Однако, синус x может быть только от -1 до 1, поэтому мы можем отбросить вариант sinx = -4/3, так как он выходит за допустимый диапазон.

Таким образом, мы получаем одно решение для sinx: sinx = 1/2.

Но мы хотим найти значения x, а не sinx. Чтобы найти x, мы можем использовать обратную функцию к синусу, а именно арксинус (или sin^-1 или asin).

Таким образом, мы можем записать ответ в виде:
x = arcsin(1/2)

Теперь, нам нужно найти значения арксинуса от 1/2. Это можно сделать с помощью таблиц или калькулятора.

Итак, x = arcsin(1/2). Это значит, что x является таким углом, при котором синус равен 1/2.

Из таблицы или калькулятора мы можем узнать, что существует два значения угла, при которых sin равен 1/2: x = 30° и x = 150°.

Таким образом, окончательные ответы для уравнения (6sin^2x + 5sinx - 4) * корень (-7cosx) = 0 это:
x = 30° и x = 150°.