641. Найдите наименьшее и наибольшее значение выражения: а) tg a × ctg a – sin²x;

б) cos²х — tg a × ctg a;

Добрый день! Разберем вместе решение задачи.

а) Найдем наименьшее и наибольшее значение выражения tg a × ctg a – sin²x.

Для начала, рассмотрим отдельно каждое слагаемое в данном выражении.

1. Выразим tg a и ctg a через синус и косинус:

tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a

2. Подставим эти значения в исходное выражение:

tg a × ctg a – sin²x = (sin a / cos a) × (cos a / sin a) – sin²x
= 1 – sin²x
= cos²x

Таким образом, исходное выражение tg a × ctg a – sin²x равно cos²x.

Наименьшее и наибольшее значение cos²x:
Минимальное значение cos²x достигается, когда cos x = -1 и равно 1.
Максимальное значение cos²x достигается, когда cos x = 1 и равно 1.

Итак, наименьшее значение выражения tg a × ctg a – sin²x равно 1, а наибольшее значение также равно 1.

б) Найдем наименьшее и наибольшее значение выражения cos²х — tg a × ctg a.

По аналогии с предыдущей задачей, выразим tg a и ctg a через синус и косинус:

tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a

Подставим эти значения в исходное выражение:

cos²х — tg a × ctg a = cos²x - (sin a / cos a) × (cos a / sin a)
= cos²x - 1
= cos²x - sin²x

Таким образом, исходное выражение cos²х — tg a × ctg a равно cos²x - sin²x.

Наименьшее и наибольшее значение cos²x - sin²x:
Минимальное значение cos²x - sin²x достигается, когда cos x = -1 и sin x = 0, и равно -1.
Максимальное значение cos²x - sin²x достигается, когда cos x = 1 и sin x = 0, и равно 1.

Итак, наименьшее значение выражения cos²х — tg a × ctg a равно -1, а наибольшее значение равно 1.

Вот и все. Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать!