60% студентов некоторого вуза изучают английский язык, 30% немецкий, а остальные французский. Какова вероятность того,что из трёх наудачу встреченных студентов: а) только один изучает английский язык, б) один изучает английский, а остальные - французский; в) все изучают разные языки?

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, нам нужно определить вероятности того, что один произвольно выбранный студент изучает каждый язык. Мы знаем, что 60% изучают английский, 30% - немецкий, и остальные изучают французский.

Таким образом, вероятность того, что студент изучает английский язык (Е) будет 0.6 (или 60% в виде десятичной дроби), вероятность изучать немецкий язык (Н) будет 0.3 (или 30%), и вероятность изучать французский язык (Ф) можно найти как 1 минус вероятность изучать английский и немецкий языки. Таким образом, вероятность изучать французский язык (Ф) будет 1 - 0.6 - 0.3 = 0.1 (или 10%).

Теперь, давайте перейдем к каждому из трех вопросов задачи:

а) Вероятность того, что только один студент из трех изучает английский язык. В нашем случае, наш выбор - это именно один из трех студентов, поэтому мы можем использовать формулу для расчета вероятности одного события из нескольких независимых событий, а именно формулу для комбинаторики.

Эта формула выглядит следующим образом: P(A и B и C) = P(A) * P(B) * P(C), где P(A) - вероятность события А, P(B) - вероятность события Б, и P(C) - вероятность события С.

В нашем случае, мы хотим найти вероятность того, что только один из трех студентов изучает английский язык. Для этого нам нужно учесть все возможные комбинации, где только один студент изучает английский язык.

Таким образом, вероятность будет равна: P(только один студент изучает английский) = P(английский) * P(не английский) * P(не английский) + P(не английский) * P(английский) * P(не английский) + P(не английский) * P(не английский) * P(английский).

Подставим значения:
P(только один студент изучает английский) = 0.6 * 0.9 * 0.9 + 0.4 * 0.6 * 0.9 + 0.4 * 0.4 * 0.6.

Решаем это выражение:
P(только один студент изучает английский) = 0.486 (или 48.6% в виде десятичной дроби).

Таким образом, вероятность того, что только один студент из трех изучает английский язык, составляет 0.486 или 48.6%.

б) Вероятность того, что один студент изучает английский язык, а остальные - французский. Для решения этой задачи мы можем использовать аналогичный подход, как и в предыдущем пункте.

Вероятность будет равна: P(один студент изучает английский, остальные - французский) = P(английский) * P(французский) * P(французский) + P(французский) * P(английский) * P(французский) + P(французский) * P(французский) * P(английский).

Подставим значения:
P(один студент изучает английский, остальные - французский) = 0.6 * 0.1 * 0.1 + 0.4 * 0.6 * 0.1 + 0.4 * 0.4 * 0.6.

Решаем это выражение:
P(один студент изучает английский, остальные - французский) = 0.036 (или 3.6% в виде десятичной дроби).

Таким образом, вероятность того, что один студент изучает английский язык, а остальные - французский, составляет 0.036 или 3.6%.

в) Вероятность того, что все студенты изучают разные языки. В этом случае, мы должны учесть все возможные комбинации, где каждый студент изучает разные языки.

Вероятность будет равна: P(все изучают разные языки) = P(английский) * P(немецкий) * P(французский) + P(английский) * P(французский) * P(немецкий) + P(немецкий) * P(английский) * P(французский) + P(немецкий) * P(французский) * P(английский) + P(французский) * P(английский) * P(немецкий) + P(французский) * P(немецкий) * P(английский).

Подставим значения:
P(все изучают разные языки) = 0.6 * 0.3 * 0.1 + 0.6 * 0.1 * 0.3 + 0.3 * 0.6 * 0.1 + 0.3 * 0.1 * 0.6 + 0.1 * 0.6 * 0.3 + 0.1 * 0.3 * 0.6.

Решаем это выражение:
P(все изучают разные языки) = 0.108 (или 10.8% в виде десятичной дроби).

Таким образом, вероятность того, что все студенты изучают разные языки, составляет 0.108 или 10.8%.

Итак, чтобы ответить на вопросы:

а) Вероятность того, что только один студент из трех изучает английский язык, составляет 0.486 или 48.6%.

б) Вероятность того, что один студент изучает английский язык, а остальные - французский, составляет 0.036 или 3.6%.

в) Вероятность того, что все студенты изучают разные языки, составляет 0.108 или 10.8%.

Надеюсь, эта информация будет полезной и понятной для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!