50 вопрос жизни и
исследуйте на монотонность и экстремумы функцию:

а)f(x)=(x+1)^2(x-2)

б)f(x)=32lnx-x^2

Привет! Как школьный учитель, я рад помочь тебе разобраться с этими задачами.

а) Чтобы исследовать функцию на монотонность и экстремумы, нам нужно проанализировать ее производную. Давай начнем с функции f(x) = (x+1)^2(x-2).

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2(x+1)(x-2) + (x+1)^2

Шаг 2: Упростим производную:

f'(x) = 2(x^2-x-2) + (x^2+2x+1)
= 2x^2 - 2x - 4 + x^2 + 2x + 1
= 3x^2 + x - 3

Шаг 3: Решим уравнение f'(x) = 0 для поиска критических точек (точек экстремума):

3x^2 + x - 3 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации, завершающего квадрат или формулы корней. Я воспользуюсь формулой корней для этого примера:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В нашем случае, a = 3, b = 1 и c = -3.

x = (-1 ± √(1^2 - 4(3)(-3))) / (2(3))
= (-1 ± √(1 + 36)) / 6
= (-1 ± √37) / 6

Таким образом, у нас два критических значения: x = (-1 + √37) / 6 и x = (-1 - √37) / 6.

Шаг 4: Исследуем знаки производной f'(x) и определим монотонность функции:

Для этого возьмем произвольные точки с каждого интервала и подставим их в f'(x). Давай я создам таблицу для анализа:

Интервал | f'(x)
__________________|_______________
x < (-1 - √37) / 6 | Положительное
(-1 - √37) / 6 < x < (-1 + √37) / 6 | Отрицательное
x > (-1 + √37) / 6 | Положительное

Итак, на интервале x < (-1 - √37) / 6, f'(x) положительна, на интервале (-1 - √37) / 6 < x < (-1 + √37) / 6, f'(x) отрицательна, и на интервале x > (-1 + √37) / 6, f'(x) снова положительна.

Это означает, что функция f(x) монотонно возрастает при x < (-1 - √37) / 6, монотонно убывает при (-1 - √37) / 6 < x < (-1 + √37) / 6 и снова монотонно возрастает при x > (-1 + √37) / 6.

Шаг 5: Определим экстремумы функции:

Мы можем найти экстремумы функции, рассмотрев значения функции в критических точках и точках, где производная не существует. В этом случае, у нас есть всего две критические точки.

Давай найдем значения функции в этих точках:

f((-1 + √37) / 6) = [((-1 + √37) / 6 + 1)^2] * (((-1 + √37) / 6) - 2)
≈ 3.07

f((-1 - √37) / 6) = [((-1 - √37) / 6 + 1)^2] * (((-1 - √37) / 6) - 2)
≈ -5.74

Таким образом, функция f(x) имеет локальный максимум при x ≈ (-1 + √37) / 6 (с значением примерно 3.07) и локальный минимум при x ≈ (-1 - √37) / 6 (с значением примерно -5.74).

б) Теперь давайте исследуем функцию f(x) = 32lnx - x^2 на монотонность и экстремумы.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 32/x - 2x

Шаг 2: Упростим производную:

f'(x) = (32 - 2x^2) / x

Шаг 3: Решим уравнение f'(x) = 0 для поиска критических точек (точек экстремума):

32 - 2x^2 = 0

Решим это уравнение:

2x^2 = 32
x^2 = 16
x = ± √16
x = ±4

Таким образом, у нас две критические точки: x = 4 и x = -4.

Шаг 4: Исследуем знаки производной f'(x) и определим монотонность функции:

Для этого создадим таблицу для анализа, так же как в предыдущем примере:

Интервал | f'(x)
__________________|_______________
x < -4 | Положительное
-4 < x < 0 | Отрицательное
0 < x < 4 | Отрицательное
x > 4 | Положительное

Итак, на интервале x < -4, f'(x) положительна, на интервале -4 < x < 0, f'(x) отрицательна, на интервале 0 < x < 4 f'(x) также отрицательна и на интервале x > 4 f'(x) положительна.

Это означает, что функция f(x) монотонно возрастает при x < -4, монотонно убывает при -4 < x < 0, снова монотонно убывает при 0 < x < 4 и монотонно возрастает при x > 4.

Шаг 5: Определим экстремумы функции:

Так как у нас есть только две критические точки, давайте найдем значения функции в этих точках:

f(4) = 32ln(4) - 4^2
≈ 23.42

f(-4) = 32ln(-4) - (-4)^2
≈ -55.42 (здесь мы должны учесть, что логарифм отрицательного числа не определен)

Таким образом, функция f(x) имеет локальный максимум при x = 4 (с значением примерно 23.42) и не имеет локального минимума из-за отсутствия значения f(-4).

Надеюсь, я смог помочь разобраться с этими задачами! Если у тебя есть еще какие-либо вопросы, не стесняйся задавать их.