4tg4x-4tg3x-tg2x=tg2x*tg3x*tg4x​

Чтобы решить данное уравнение, нам потребуется использовать свойства тригонометрических функций, а именно свойство тангенса суммы и разности углов:

tg(A+B) = (tgA + tgB) / (1 - tgA*tgB)
tg(A-B) = (tgA - tgB) / (1 + tgA*tgB)

Для начала, давайте раскроем уравнение:

4tg(4x) - 4tg(3x) - tg(2x) = tg(2x) * tg(3x) * tg(4x)

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

(4tg(4x) - 4tg(3x)) - tg(2x) = tg(2x) * tg(3x) * tg(4x)

Теперь вынесем общий множитель tg(2x) из левой части уравнения:

tg(2x) * (4tg(4x)/tg(2x) - 4tg(3x)/tg(2x) - 1) = tg(2x) * tg(3x) * tg(4x)

Упростим левую часть уравнения:

4tg(4x)/tg(2x) - 4tg(3x)/tg(2x) - 1 = tg(3x) * tg(4x)

Так как в левой и правой частях уравнения есть общий множитель tg(2x), то мы можем его сократить:

4tg(4x) - 4tg(3x) - tg(2x) = tg(3x) * tg(4x)

Теперь имеем уравнение без общего множителя. Давайте опять приведем подобные слагаемые в левой части:

4tg(4x) - 4tg(3x) - tg(2x) - tg(3x) * tg(4x) = 0

Теперь, чтобы получить решение данного уравнения, нам потребуется использовать график тангенса и его периодичность, так как у нас множество возможных значений x.

После построения графика можно заметить, что у тангенса функция при x=0 равна 0. Значит, одно из возможных решений уравнения - x=0.

Также, если мы посмотрим на график, то можно увидеть, что в точках, где график имеет пересечение с осью Ox, значение tg(nπ), где n - целое число, равно 0. Это означает, что у нас еще есть другие решения уравнения.

Также можно заметить, что в точках, где график тангенса равен 1, значение равно tg(π/4 + nπ), где n - целое число. А в точках, где график тангенса равен -1, значение равно tg(3π/4 + nπ), где n - целое число.

Мы можем использовать все эти значения вариантов, чтобы найти остальные решения уравнения. Лучше всего показать это с помощью таблицы значений:

| x | tg(4x) | tg(3x) | tg(2x) |
|:---:|:------:|:------:|:------:|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| π/4 | 1 | √(3) | 1 |
|-π/4 |- 1 | -√(3) | - 1 |
| π/2 | ∞ | 1 | ∞ |
| -π/2 | -∞ | -1 | -∞ |
| π/8 | √3 - 1 | √3 - 1/√3 | 1/√3 |
|-π/8 |-√3 + 1 | -√3 - 1/√3 | -1/√3 |
| π/16 | √(2+√2) - 1/√(2+√2) | 1 - 1/√(2+√2) | √(2-√2) |
|-π/16 |-√(2+√2) + 1/√(2+√2) | -1 + 1/√(2+√2) | -√(2-√2) |

Таблица содержит значения для некоторых углов. Исходя из свойств тригонометрических функций, мы можем сравнить значения в левой части уравнения с значениями в правой части уравнения, чтобы найти возможные решения.

Видим, что значения tg(π/4), tg(-π/4), tg(π/8), tg(-π/8), tg(π/16) и tg(-π/16) слева и справа равны друг другу или отличаются только знаком. Поэтому эти значения также являются решениями уравнения. В итоге, решениями уравнения могут быть следующие значения x:

x = 0, π/4, -π/4, π/8, -π/8, π/16, -π/16

Надеюсь, эта подробная разборка помогла вам понять, как решить данное уравнение.