2.1. Построить треугольник, вершины которого находятся в точках A (m+1; n+1) B (m; -n) C (-m; n) и найти: 1) уравнение стороны АВ;

2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;

3) координату точки пересечения медиан;

4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;

5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;

6) площадь треугольника.

Хорошо, давайте начнем с построения треугольника.

1. Для построения треугольника, мы должны использовать данные вершины A(m+1;n+1), B(m;-n) и C(-m;n).
А чтобы построить треугольник, нам нужно нарисовать отрезки между этими вершинами.
Так что давайте построим треугольник ABC на координатной плоскости:

- Нарисуйте точку A, где x = m+1 и y = n+1.
- Нарисуйте точку B, где x = m и y = -n.
- Нарисуйте точку C, где x = -m и y = n.

Соедините точки A, B и C отрезками, чтобы получить треугольник ABC.

2. Теперь перейдем к первому вопросу "уравнение стороны АВ".
Чтобы найти уравнение стороны AB, нужно найти уравнение прямой, проходящей через две вершины A и B.

Для этого мы можем использовать формулу уравнения прямой y = mx + b, где m - это коэффициент угла наклона прямой, и b - это свободный член.

Найдем значение m:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) = (m+1, n+1) и (x2, y2) = (m, -n)

m = (-n - (n + 1)) / (m - (m + 1)) = (-n - n - 1) / (m - m - 1) = (-2n - 1) / (-1) = 2n + 1

Теперь найдем значение b, подставив значения координат точки (m+1, n+1) в уравнение:
n + 1 = (2n + 1)(m + 1) + b
n + 1 = 2nm + 2n + m + 1 + b
b = n + 1 - 2nm - 2n - m - 1
b = -2nm - m - n

Таким образом, уравнение стороны AB будет выглядеть:
y = (2n + 1)x - 2nm - m - n

3. Перейдем к второму вопросу "уравнение медианы, проведенной из вершины С".
Медиана, проведенная из вершины C, делит сторону AB пополам.

Точка, через которую проходит медиана, будет являться серединой стороны AB,
так что мы можем использовать формулу для нахождения середины отрезка:

x = (x1 + x2) / 2 и y = (y1 + y2) / 2, где (x1, y1) и (x2, y2) - это координаты концов стороны AB.

(x1, y1) = (m+1, n+1) и (x2, y2) = (m, -n)
x = (m+1 + m) / 2 = (2m + 1) / 2 = m + 1/2
y = (n+1 + (-n)) / 2 = (n + 1 - n) / 2 = (1/2)

Таким образом, координаты точки пересечения медиан будут (m + 1/2, 1/2).

4. Перейдем к четвертому вопросу "уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину".
Высота, опущенная из вершины B на сторону AC, будет перпендикулярной к стороне AC и проходящей через точку B.

Так как сторона AC определяется точками A(m+1,n+1) и C(-m,n), мы можем вычислить коэффициент угла наклона для стороны AC и использовать его для определения коэффициента угла наклона перпендикулярной прямой.

Коэффициент угла наклона стороны AC будет равным:
mAC = (n - (n + 1)) / (-m - (m + 1)) = (n - n - 1) / (-m - m - 1) = -1 / (-2m - 1) = 1 / (2m + 1)

Так как перпендикулярные прямые имеют противоположные обратные значения коэффициентов наклона,
коэффициент угла наклона перпендикулярной прямой будет равен:
mперпендикулярной = -1 / mAC = -(2m + 1)

Теперь мы можем использовать точку B(m, -n), чтобы найти свободный член b для уравнения прямой.
-n = -(2m + 1)m + b
-n = -2m^2 - m + b
b = -n + 2m^2 + m

Таким образом, уравнение высоты будет:
y = -(2m + 1)x -n + 2m^2 + m

Чтобы найти длину высоты, нам нужно найти расстояние между точкой В(m,-n) и точкой пересечения высоты с осью x.
Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) = (m, -n) и (x2, y2) - это координаты точки пересечения высоты.

(x1, y1) = (m, -n) и (x2, y2) = (m + 1/2, 1/2)
d = sqrt((m + 1/2 - m)^2 + (1/2 - (-n))^2) = sqrt((1/2)^2 + (1/2 + n)^2)

Таким образом, длина высоты будет sqrt((1/2)^2 + (1/2 + n)^2).

5. Перейдем к пятому вопросу "уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ".
Чтобы найти уравнение прямой, которая проходит через точку C и параллельна прямой AB,
нам необходимо найти коэффициент угла наклона прямой AB и использовать его для построения параллельной прямой.

Коэффициент угла наклона прямой AB мы уже нашли ранее: mAB = 2n + 1.

Теперь мы можем использовать точку C(-m, n), чтобы найти свободный член b для уравнения прямой:
n = (2n + 1)(-m) + b
n = -2mn - m + b
b = n + 2mn + m

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку C и параллельной прямой AB, будет:
y = (2n + 1)x + n + 2mn + m

6. Перейдем к шестому вопросу "площадь треугольника".
Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

S = sqrt(p * (p - d1) * (p - d2) * (p - d3)), где p - это полупериметр, а d1, d2 и d3 - это длины сторон треугольника.

Для этого нам сначала нужно найти длины сторон треугольника.
Мы уже нашли уравнение для стороны AB, уравнение для высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и длину высоты.

Так что длина стороны AB будет длиной между точками A и B, которую мы можем найти, используя формулу расстояния между двумя точками:
dAB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) = (m+1, n+1) и (x2, y2) = (m, -n)

(x1, y1) = (m+1, n+1) и (x2, y2) = (m, -n)
dAB = sqrt((m - (m + 1))^2 + (-n - (n + 1))^2) = sqrt((-1)^2 + (-2n - 1)^2) = sqrt(1 + 4n^2 + 4n + 1) = sqrt(2 + 4n + 4n^2)

Длина высоты будет sqrt((1/2)^2 + (1/2 + n)^2), как мы нашли ранее.

Значение длины стороны AC будет суммой длин стороны AB и стороны BC:
dAC = dAB + dBC = sqrt(2 + 4n + 4n^2) + sqrt(2 - 4n + 4n^2) = sqrt(4 + 8n^2)

Таким образом, площадь треугольника будет:
S = sqrt(p * (p - dAB) * (p - dAC) * (p - dBC)), где p = (dAB + dAC + dBC) / 2
p = (sqrt(2 + 4n + 4n^2) + sqrt(2 - 4n + 4n^2) + sqrt(4 + 8n^2)) / 2

Заметим, что (p - dAB), (p - dAC) и (p - dBC) являются разностями между p и длиной соответствующей стороны треугольника.
Рассчитаем площадь треугольника, используя найденные значения:
S = sqrt(p * (p - dAB) * (p - dAC) * (p - dBC))

Это детальное решение поможет школьнику лучше понять как строить треугольник на координатной плоскости и как находить уравнения сторон, медиан, высот, прямых и площади треугольника.