1.Вычислите:

А) (cos 150 + sin150)2 б) sin4 8 - cos4 8

в) cos8sin8 + 14 г) (cos750 – sin750)2

д) 2sin2 12 - 2cos212 е) sin750cos750

ж) cos16sin16 cos8 з )64040 820

А) Для вычисления данного выражения нам понадобятся значения функций cos и sin для угла 150 градусов. Нам известно, что синус и косинус угла 150 градусов задаются значениями корней третьей степени из 1/2 и -1/2 соответственно. Подставляя эти значения в выражение, получим:

(cos 150 + sin 150)² = ((-1/2) + (√3/2))²

Далее раскроем скобки:

((-1/2) + (√3/2))² = (-1/2)² + 2(-1/2)(√3/2) + (√3/2)²

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

(-1/2)² = 1/4
2(-1/2)(√3/2) = -√3/2
(√3/2)² = 3/4

Теперь сложим все слагаемые:

1/4 + (-√3/2) + 3/4 = 4/4 - √3/2 = 1 - √3/2

Ответ: (cos 150 + sin 150)² = 1 - √3/2

б) Раскроем скобки в выражении sin⁴8 - cos⁴8:

sin⁴8 - cos⁴8 = (sin²8 - cos²8)(sin²8 + cos²8)

Мы знаем, что (sin²θ - cos²θ) = -cos(2θ), а (sin²θ + cos²θ) = 1. Подставим эти значения в наше выражение:

(sin²8 - cos²8)(sin²8 + cos²8) = -cos(2*8) * 1

cos(16) * 1 = cos(16)

Ответ: sin⁴8 - cos⁴8 = cos(16)

в) Для вычисления данного выражения нам понадобятся значения функций cos и sin для угла 750 градусов. Заметим, что cos и sin функции периодичны с периодом 360 градусов.

(cos750 - sin750)² = (cos(750 - 4*360) - sin(750 - 4*360))² = (cos30 - sin30)²

Мы знаем, что cos30 = √3/2 и sin30 = 1/2. Подставим эти значения в выражение:

(cos30 - sin30)² = (√3/2 - 1/2)²

Раскроем скобки:

(√3/2 - 1/2)² = (√3/2)² - 2(√3/2)(1/2) + (1/2)²

Посчитаем каждое слагаемое отдельно:

(√3/2)² = 3/4
2(√3/2)(1/2) = √3/2
(1/2)² = 1/4

Теперь сложим все слагаемые:

3/4 - √3/2 + 1/4 = 4/4 - √3/2 = 1 - √3/2

Ответ: (cos750 - sin750)² = 1 - √3/2

д) Раскроем скобки в выражении 2sin²12 - 2cos²12:

2sin²12 - 2cos²12 = 2(sin²12 - cos²12) = 2(-cos(2*12)) = 2(-cos24)

Ответ: 2sin²12 - 2cos²12 = -2cos24

е) Для вычисления данного выражения нам понадобятся значения функций cos и sin для угла 750 градусов. Заметим, что cos и sin функции периодичны с периодом 360 градусов.

sin750cos750 = sin(750 - 2*360)cos(750 - 2*360) = sin30cos30

Мы знаем, что sin30 = 1/2 и cos30 = √3/2. Подставим эти значения в выражение:

sin30cos30 = (1/2)(√3/2) = √3/4

Ответ: sin750cos750 = √3/4

ж) Для вычисления данного выражения нам нужно применить тригонометрическую формулу двойного угла:

cos2x = cos²x - sin²x

Тогда:

cos16sin16 = (cos16)(sin16) = (cos²8 - sin²8)(2sin8cos8)

Мы знаем, что cos²x - sin²x = cos(2x), и sin2x = 2sinx*cosx. Подставим эти значения в выражение:

(cos²8 - sin²8)(2sin8cos8) = cos(2*8)(2sin(2*8)cos(2*8))

cos(16)(2sin(16)cos(16)) = cos(16)(sin(32))

Ответ: cos16sin16 = cos(16)sin(32)

з) Для вычисления данного выражения мы должны записать числа 64040 и 820 как произведение их простых множителей и затем упростить выражение:

64040 = 2^3 * 5 * 7 * 229
820 = 2^2 * 5 * 41

Теперь, чтобы найти НОК (наименьшее общее кратное) чисел 64040 и 820, мы должны взять все уникальные простые множители и возвести их в максимальные степени, которые встречаются в обоих числах:

НОК(64040, 820) = 2^3 * 5 * 7 * 229 * 41 = 66336760

Ответ: 64040 820 = 66336760