1. Составьте сумму кубов двух одночленов и разложите её на множители.
а) 2 и а
б) 3 и 2х
в) 1 и 7с
г) 5b и 7
2. Составьте разность кубов двух одночленов и разложите её на множители:
а) 6 и х
б) 3х и 1
в) х и 5
г) Зу и 2
д) 4а и 3b
е) 2x и 5у
3. Подберите одночлены А, В и С так, чтобы выполнялось равенство:
а)А+х³=(х+В)(x²-4х+16);
А = ...
B = ...
б)А-27x⁶=(2а-В)(C+6ах²+9х²);
А= ...
B= ...
в)А-125c¹²=(В - 5с⁴)(b²+5bc⁴+25c⁸);
А= ...
В= ...
г) 8y¹²+A=(2y⁴+C)(4y⁸-B + 16m⁶);
А= ...
В= ...
4. Запишите в виде многочлена:
а) (b + c)(b²-bc + c²) =
б) (k²-4k+16)(k + 4) =
в) (3+х)(9-3х+х²) =
г) (a²-a+1)(a + 1) =
д) (25+5х+х²)(5 – x) =-
е) (7 – с)(49 +7с+с²) =
ж) (81+9а+a²)(9 – а) =
з) (1/4+1/2a+a²)(1/2-a)=​

1. Составление суммы кубов двух одночленов и разложение на множители:

а) Для двух одночленов 2 и а:
Сумма их кубов равна (2)³ + (а)³ = 8 + а³.
Это составленный одночлен, который не может быть разложен на множители.

б) Для двух одночленов 3 и 2х:
Сумма их кубов равна (3)³ + (2х)³ = 27 + 8х³.
Мы можем разложить этот одночлен на множители, используя формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
Поэтому (3)³ + (2х)³ = (3 + 2х)(3² - 3(2х) + (2х)²) = (3 + 2х)(9 - 6х + 4х²).

в) Для двух одночленов 1 и 7с:
Сумма их кубов равна (1)³ + (7с)³ = 1 + 343c³ = 1 + 343c³.
Мы можем разложить этот одночлен на множители, используя формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
Поэтому (1)³ + (7с)³ = (1 + 7с)(1² - 1(7с) + (7с)²) = (1 + 7с)(1 - 7с + 49c²).

г) Для двух одночленов 5b и 7:
Сумма их кубов равна (5b)³ + (7)³ = 125b³ + 343.
Мы можем разложить этот одночлен на множители, используя формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
Поэтому (5b)³ + (7)³ = (5b + 7)(25b² - 35b + 49).

2. Составление разности кубов двух одночленов и разложение на множители:

а) Для двух одночленов 6 и х:
Разность их кубов равна (6)³ - (х)³ = 216 - х³.
Мы можем разложить этот одночлен на множители, используя формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Поэтому (6)³ - (х)³ = (6 - х)(36 + 6х + х²).

б) Для двух одночленов 3х и 1:
Разность их кубов равна (3х)³ - (1)³ = 27х³ - 1.
Мы можем разложить этот одночлен на множители, используя формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Поэтому (3х)³ - (1)³ = (3х - 1)(9х² + 3х + 1).

в) Для двух одночленов х и 5:
Разность их кубов равна (х)³ - (5)³ = х³ - 125.
Мы можем разложить этот одночлен на множители, используя формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Поэтому (х)³ - (5)³ = (х - 5)(х² + 5х + 25).

г) Для двух одночленов Зу и 2: (не совсем ясно, что значит "Зу", так что мы пропустим этот вопрос)

д) Для двух одночленов 4а и 3b:
Разность их кубов равна (4а)³ - (3b)³ = 64а³ - 27b³.
Мы можем разложить этот одночлен на множители, используя формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Поэтому (4а)³ - (3b)³ = (4а - 3b)(16а² + 12ab + 9b²).

е) Для двух одночленов 2x и 5у:
Разность их кубов равна (2x)³ - (5у)³ = 8x³ - 125у³.
Мы можем разложить этот одночлен на множители, используя формулу разности кубов: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Поэтому (2x)³ - (5у)³ = (2x - 5у)(4x² + 10xy + 25у²).

3. Подбор одночленов А, В и С, чтобы выполнялось равенство:

а) А + х³ = (х + В)(x² - 4х + 16);
Давайте раскроем скобки:
А + х³ = х³ + Вх² - 4Вх + 16В.
Теперь возьмем соответствующие коэффициенты слева и справа:
А = 0;
В = 0.

б) А - 27x⁶ = (2а - В)(C + 6ах² + 9х²);
Давайте раскроем скобки:
А - 27x⁶ = 2аC + 12а²х² + 18ах² - ВC - 6Вах² - 9Вх².
Теперь возьмем соответствующие коэффициенты слева и справа:
А = -27x⁶;
В = 0;
С = 0.

в) А - 125c¹² = (В - 5с⁴)(b² + 5bc⁴ + 25c⁸);
Давайте раскроем скобки:
А - 125c¹² = Вb² + 5bс⁴ + 25bc⁸ - 5Вс⁴ - 25c⁸.
Теперь возьмем соответствующие коэффициенты слева и справа:
А = -125c¹²;
В = 0.

г) 8y¹² + A = (2y⁴ + C)(4y⁸ - B + 16m⁶);
Давайте раскроем скобки:
8y¹² + А = 8y¹² + 2Cy⁴ + 4y⁸C + 32y⁸m⁶ - By⁴ - Bm⁶ + 16m⁶C.
Теперь возьмем соответствующие коэффициенты слева и справа:
А = 0;
В = 0.

4. Запись в виде многочлена:

а) (b + c)(b² - bc + c²) =
b³ - b²c + bc² + b²c - bc² + c³
= b³ + c³.

б) (k² - 4k + 16)(k + 4) =
k³ + 4k² - 4k² - 16k + 16k + 64
= k³ + 64.

в) (3 + х)(9 - 3х + х²) =
27 - 9х + 3х² + 9х - 3х² + х³
= х³ + 27.

г) (a² - a + 1)(a + 1) =
a³ + a² - a² - a + a + 1
= a³ + 1.

д) (25 + 5х + х²)(5 - x) =
125 - 25х + 5х² - 5х² + х³ - x²
= х³ - x² + 100.

е) (7 - с)(49 + 7с + с²) =
343 - 49c + 7c² + 49c - 7c² + c³
= c³ + 343.

ж) (81 + 9а + a²)(9 - а) =
729 - 81а + 9а² + 81а - 9а² + а³
= а³ + 729.

з) (1/4 + 1/2a + a²)(1/2 - а) =
1/8 - 1/4а + 1/2а² + 1/2а - а² + а³
= а³ - а² + 1/2а² + 3/4а + 1/8.