1.Сколько членов последовательности 6, 13, 20, 27, … меньше числа 63?
А. 8 Б. 9 В. 10 Г. 11
2.Найдите , если известно, что . А. нет такого номера Б. 3 В. 4 Г. 5
3.Дана арифметическая прогрессия 9,3; 7,6; … . Найдите номер члена этой
прогрессии, равного -0,9.
А. 7 Б. 5 В.6 Г. нет такого номера
4. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии,
заданной формулой .
А. 311 Б. 301 В. 602 Г. 150,5
5.Пятый член арифметической прогрессии равен 10, а седьмой равен 12.
Найдите первый член прогрессии. А. 2 Б. 4 В. 6 Г. 0
6.Сколько членов арифметической прогрессии -15, -12, … меньше числа 34?
А. 16 Б. 15 В. 4 Г. 17
7.Шестой член арифметической прогрессии равен 11. Чему равна сумма
первых одиннадцати членов прогрессии?
А. 121 Б. 242 В. 110 Г. 120
8.Найдите первый член геометрической прогрессии
А.-3 Б. -1 В. Г.
9.Дана геометрическая прогрессия 1, , … Найдите номер члена этой прогрессии,
равного .
А. 5 Б. 4 В. 6 Г. нет такого номера
10. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии, заданной
формулой .
А. Б. 63,5 В. Г. 32
11. Четвертый член геометрической прогрессии равен 3, а седьмой равен 81.
Найдите первый член прогрессии.
А. Б. 3 В. Г. 1
12. Сколько членов геометрической прогрессии 48, -24, … больше числа 0,5?
А. 1 Б. 2 В. 3 Г. 4
13. Сумма пятого и третьего члена геометрической прогрессии равна 90, а сумма
второго и четвертого ее членов рана -30. Чему равна сумма первых шести членов прогрессии?
А. -182 Б. 182 В. 182,5 Г. -182,5

1. Для решения этой задачи нужно найти количество членов последовательности, которые меньше числа 63. У нас дана арифметическая прогрессия с первым членом 6 и шагом (разностью между соседними членами) 7. Мы можем вычислить последовательные члены по формуле: \(a_{n} = a_{1} + (n-1)d\), где \(a_{n}\) - n-ый элемент последовательности, \(a_{1}\) - первый элемент последовательности, \(d\) - шаг (разность). Нам нужно найти такое значение \(n\), при котором \(a_{n} < 63\).

Вычислим элементы последовательности:

\(a_{1} = 6\) - первый член

\(a_{2} = 6 + (2-1) \cdot 7 = 13\) - второй член

\(a_{3} = 6 + (3-1) \cdot 7 = 20\) - третий член

\(a_{4} = 6 + (4-1) \cdot 7 = 27\) - четвертый член

Теперь можем посмотреть, при каком значении \(n\) элемент превысит 63:

\(a_{5} = 6 + (5-1) \cdot 7 = 34\) - пятый член

\(a_{6} = 6 + (6-1) \cdot 7 = 41\) - шестой член

\(a_{7} = 6 + (7-1) \cdot 7 = 48\) - седьмой член

\(a_{8} = 6 + (8-1) \cdot 7 = 55\) - восьмой член

\(a_{9} = 6 + (9-1) \cdot 7 = 62\) - девятый член

\(a_{10} = 6 + (10-1) \cdot 7 = 69\) - десятый член

Мы видим, что при \(n = 9\) значение превышает 63, а при \(n = 10\) значение равно 69. То есть, у нас 9 элементов последовательности меньше числа 63.

Ответ: А. 9

2. В этой задаче нам дана формула для вычисления \(n\)-го члена геометрической прогрессии и известно, что \(a_{n} = 243\). Нам нужно найти значение \(n\). Опять используем формулу для вычисления \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \(a_{n} = a_{1} \cdot q^{(n-1)}\), где \(a_{n}\) - n-ый член последовательности, \(a_{1}\) - первый член последовательности, \(q\) - знаменатель прогрессии.

Подставим данное значение \(a_{n}\) и выражение для \(a_{1}\) и \(q\) в формулу:

\(243 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}\)

Теперь решим эту уравнение относительно \(n\). Сначала избавимся от отрицательного знака в знаменателе:

\(243 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{(n-1)} = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^{(n-1)} \cdot \left(-\frac{3}{-3}\right)^{(n-1)} = 3 \cdot \left(\frac{-1}{-3}\right)^{(n-1)} = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}\)

Теперь выразим \(n\)-ый член через степень:

\(243 = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}\)

Для того чтобы избавиться от знаменателя, возведем все выражение в степень -1:

\(243^{-1} = \left[3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(n-1)}\right]^{-1}\)

После этого упростим уравнение:

\(\frac{1}{243} = 3^{-1} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-(n-1)}\)

\(\frac{1}{243} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{1}\right)^{(n-1)}\)

Теперь, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, перенесем все влево и поменяем знак степени:

\(\frac{1}{243} - \frac{1}{3} = \left(\frac{3}{1}\right)^{(1-n)}\)

\(\frac{1}{243} - \frac{81}{243} = \left(\frac{3}{1}\right)^{(1-n)}\)

\(\frac{1 - 81}{243} = \left(\frac{3}{1}\right)^{(1-n)}\)

\(\frac{-80}{243} = \left(\frac{3}{1}\right)^{(1-n)}\)

Мы должны разложить дробь \(\frac{-80}{243}\) на простые множители, чтобы определить, можно ли его представить в виде степени:

\(\frac{-80}{243} = \frac{-2^{4} \cdot 5}{3^{5}}\)

Как видно из этого разложения, нельзя представить дробь \(\frac{-80}{243}\) в виде степени целого числа. Это значит, что нет такого значения \(n\), для которого \(a_{n} = 243\).

Ответ: Б. нет такого номера

3. Дана арифметическая прогрессия с первым членом 9 и разностью 3 (\(d = 7,6 - 9 = -1,4\)). Мы знаем значение члена прогрессии (\(-0,9\)) и хотим найти номер этого члена (\(n\)). Мы можем использовать формулу для нахождения номера члена прогрессии: \(n = \frac{a_{n} - a_{1}}{d} + 1\), где \(a_{n}\) - n-ый член последовательности, \(a_{1}\) - первый член последовательности, \(d\) - шаг (разность).

Подставим известные значения в формулу:

\(n = \frac{-0,9 - 9}{1,4} + 1 = \frac{-0,9 - 9}{1,4} \cdot \frac{10}{10} + 1 = \frac{-0,9 - 9}{1,4} \cdot \frac{10}{10} + \frac{1}{1} = \frac{-10,9}{1,4} + \frac{1}{1} = -7,785714 + 1 = -6,785714\)

Получили дробное значение номера. В арифметической прогрессии номеры членов должны быть целыми числами. Это означает, что нет такого номера члена, который был бы равен -0,9.

Ответ: Г. нет такого номера

4. Дана арифметическая прогрессия с первым членом 3 и шагом (разностью) 4. Мы хотим найти сумму первых 14 членов этой прогрессии. Мы можем использовать формулу для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n})\), где \(S_{n}\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_{1}\) - первый член прогрессии, \(a_{n}\) - n-ый член прогрессии.

Подставим известные значения в формулу:

\(S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (3 + a_{14})\)

\(S_{14} = 7 \cdot (3 + a_{14})\)

Мы не знаем значение \(a_{14}\), но мы можем выразить его через \(a_{1}\) и шаг \(d\):

\(a_{14} = a_{1} + (14-1) \cdot d = 3 + (14-1) \cdot 4 = 3 + 13 \cdot 4 = 3 + 52 = 55\)

Теперь подставим это значение в формулу:

\(S_{14} = 7 \cdot (3 + 55)\)

\(S_{14} = 7 \cdot 58\)

\(S_{14} = 406\)

Ответ: Б. 301

5. Мы знаем, что пятый член арифметической прогрессии равен 10 и седьмой член равен 12. Мы хотим найти первый член этой прогрессии. Мы можем использовать формулу для вычисления \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_{n} = a_{1} + (n-1) \cdot d\), где \(a_{n}\) - n-ый член последовательности, \(a_{1}\) - первый член последовательности, \(d\) - шаг (разность).

Подставим известные значения в формулу:

\(10 = a_{1} + (5-1) \cdot d\)

\(12 = a_{1} + (7-1) \cdot d\)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Ее можно решить методом сложения/вычитания:

Вычтем второе уравнение из первого:

\((10 - 12) = (a_{1} + 4d) - (a_{1} + 6d)\)

\(-2 = -2d\)

\(-2 = -2d\)

\(d = 1\)

Мы нашли значение \(d\), теперь подставим его в любое уравнение для нахождения \(a_{1}\). Для примера, подставим в первое уравнение:

\(10 = a_{1} + (5-1) \cdot 1\)

\(10 = a_{1} + 4\)

\(a_{1} = 6\)

Ответ: В. 6

6. Мы имеем арифметическую прогрессию с первым членом -15 и разностью 3. Нужно найти количество членов, которые меньше числа 34. Мы можем использовать формулу для нахождения номера члена с заданным значением: \(n = \frac{a_{n} - a_{1}}{d} + 1\), где \(n\) - номер члена прогрессии, \(a_{n}\) - n-ый член прогрессии, \(a_{1}\) - первый член прогрессии, \(d\) - шаг (разность).

Подставим известные значения в формулу:

\(n = \frac{34 - (-15)}{3} + 1\)

\(n = \frac{34 + 15}{3} + 1\)

\(n = \frac{49}{3} + 1\)

\(n = \frac{49}{3} + \frac{3}{3}\)

\(n = \frac{52}{3}\)

Мы избавляемся от дробной части, так как номеры членов прогрессии должны быть целыми числами:

\(n \approx 17,3333\)

Мы можем округлить это значение до ближайшего целого значения или к меньшему целому значению, так как нам нужно найти количество членов, которые меньше