1. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

А) 1; 2; 3; 5 Б) 2; 4; 6; 8 В) 1; 12; 23; 34 С) 1; 3; 9; 27

2. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

А) 1; 3; 4; 5 Б) 2; 4; 6; 8 В) 3; 1; 13; 19 С) 1; 12; 23; 14

3. В арифметической прогрессии 2; 4; 6; 8… найдите:

А) d Б) a16 В) S16 С) формулу n – члена данной прогрессии

4. В геометрической прогрессии 1; 2; 4… найдите:

А) q Б) b6 В) S6 С) формулу n – члена данной прогрессии

5. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 81; 9; 1…

6. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии -6,4; -6; -5,6 …
.
​

1. Для определения, в какой из данных последовательностей есть арифметическая прогрессия, нужно вычислить разность между каждыми двумя соседними членами последовательности. Разность в арифметической прогрессии всегда одинаковая.

- Вариант А: Разности между числами: 2-1=1, 3-2=1, 5-3=2. Разность не постоянна, поэтому эта последовательность не арифметическая прогрессия.
- Вариант Б: Разности между числами: 4-2=2, 6-4=2, 8-6=2. Разность постоянна и равна 2. Поэтому эта последовательность является арифметической прогрессией.
- Вариант В: Разности между числами: 12-1=11, 23-12=11, 34-23=11. Разность не постоянна, поэтому эта последовательность не арифметическая прогрессия.
- Вариант С: Разности между числами: 3-1=2, 9-3=6, 27-9=18. Разность не постоянна, поэтому эта последовательность не арифметическая прогрессия.

Таким образом, вариант Б - 2; 4; 6; 8 является арифметической прогрессией.

2. Для определения, в какой из данных последовательностей есть геометрическая прогрессия, нужно вычислить отношение между каждыми двумя соседними членами последовательности. Отношение в геометрической прогрессии всегда одинаковое.

- Вариант А: Отношения между числами: 3/1=3, 4/3=1.33, 5/4=1.25. Отношение не постоянно, поэтому эта последовательность не является геометрической прогрессией.
- Вариант Б: Отношения между числами: 4/2=2, 6/4=1.5, 8/6=1.33. Отношение не постоянно, поэтому эта последовательность не является геометрической прогрессией.
- Вариант В: Отношения между числами: 1/3=0.33, 13/1=13, 19/13=1.46. Отношение не постоянно, поэтому эта последовательность не является геометрической прогрессией.
- Вариант С: Отношения между числами: 12/1=12, 23/12=1.92, 14/23=0.61. Отношение не постоянно, поэтому эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Таким образом, ни одна из данных последовательностей не является геометрической прогрессией.

3. Для определения значения разности (d) в арифметической прогрессии, можно вычислить разность между любыми двумя соседними членами последовательности. Разность всегда будет постоянной.

Разность между числами: 4-2=2, 6-4=2, 8-6=2. Разность постоянна и равна 2. Поэтому d = 2.

Чтобы найти a16, можно использовать формулу an = a1 + (n - 1)d, где a1 - первый член прогрессии, d - разность, n - номер члена прогрессии.
a16 = 2 + (16 - 1)2 = 2 + 30 = 32.

Чтобы найти сумму первых 16 членов S16 арифметической прогрессии, можно использовать формулу Sn = (n/2)(a1 + an), где n - количество членов прогрессии.
S16 = (16/2)(2 + 32) = 8(34) = 272.

Таким образом, d = 2, a16 = 32, S16 = 272.

4. Для определения значения знаменателя (q) в геометрической прогрессии, можно вычислить отношение между любыми двумя соседними членами последовательности. Отношение всегда будет постоянным.

Отношение между числами: 2/1=2, 4/2=2, 8/4=2. Отношение постоянно и равно 2. Поэтому q = 2.

Чтобы найти b6, можно использовать формулу bn = b1 * q^(n-1), где b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель, n - номер члена прогрессии.
b6 = 1 * 2^(6-1) = 1 * 2^5 = 1 * 32 = 32.

Чтобы найти сумму первых 6 членов S6 геометрической прогрессии, можно использовать формулу Sn = a1(q^n - 1)/(q - 1), где a1 - первый член прогрессии, q - знаменатель, n - количество членов прогрессии.
S6 = 1(2^6 - 1)/(2 - 1) = 1(64 - 1)/1 = 63/1 = 63.

Таким образом, q = 2, b6 = 32, S6 = 63.

5. Для определения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нужно вычислить предел суммы первых n членов при n стремящемся к бесконечности.

Отношение между числами: 9/81=0.111, 1/9=0.111. Отношение постоянно и равно 0.111. Поэтому q = 0.111.

Формула для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии Sn = a1/(1 - q), где a1 - первый член прогрессии, q - знаменатель.
Sn = 81/(1 - 0.111) = 81/0.889 = 91.011.

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 81; 9; 1... равна 91.011.

6. Чтобы найти сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии, нужно найти сумму всех отрицательных членов. Для этого рассмотрим числа в последовательности:

-6.4; -6; -5.6 ...

Исходя из шага между числами, который равен 0.4, можно заметить, что это арифметическая прогрессия с разностью d = 0.4.

Чтобы найти количество членов последовательности, можно использовать формулу n = (an - a1)/d + 1, где an - последний член последовательности, a1 - первый член последовательности, d - разность.
n = (-5.6 - (-6.4))/0.4 + 1 = (-5.6 + 6.4)/0.4 + 1 = 0.8/0.4 + 1 = 2 + 1 = 3.

Теперь найдем сумму всех отрицательных членов с использованием формулы Sn = (n/2)(a1 + an), где n - количество членов последовательности, a1 - первый член последовательности, an - последний член последовательности.
Sn = (3/2)(-6.4 + (-5.6)) = (3/2)(-6.4 - 5.6) = (3/2)(-12) = -18.

Таким образом, сумма всех отрицательных членов арифметической прогрессии -6.4; -6; -5.6 ... равна -18.