1) найдите интервалы возрастания и убывания функции y=1+2x²-x⁴/4 2) постройте график функции y=x⁴/4 - 2x² 3) решите . найти ромб наибольшей площади, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10. 4) найдите направления выпуклости графика функции y=x+ 4/(x+2)

Хорошо, давай разберем каждый вопрос поочередно. 1) Для нахождения интервалов возрастания и убывания данной функции, нужно найти ее производную и определить знаки производной в различных интервалах. Для начала найдем производную функции y = 1 + 2x² - x⁴/4. Для этого возьмем производную каждого слагаемого и сложим их: y' = 2(2x) - 4x³/4 = 4x - x³. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю или не определена: 4x - x³ = 0. Разложим это уравнение на множители: x(4 - x²) = 0. Таким образом, x = 0 или x = ±2. Теперь составим таблицу знаков производной в интервалах между критическими точками и на крайних точках: Интервал (-∞, -2) | (-2, 0) | (0, 2) | (2, ∞) Знак производной | - | + | - | + Таким образом, функция возрастает на интервале (-2, 0) и убывает на интервалах (-∞, -2) и (0, 2). 2) Чтобы построить график функции y = x⁴/4 - 2x², нужно анализировать ее поведение в различных точках и интервалах. Начнем с определения поведения функции на экстремумах и критических точках: Для x = 0, y = 0/4 - 2(0)² = 0. Для x = ±2, y = (±2)⁴/4 - 2(±2)² = 2/4 - 2(4) = -2. Таким образом, у нас есть минимумы в точках (-2, -2) и (2, -2), а также точка перегиба в (0, 0). Также важно учитывать знаки коэффициентов перед x⁴ и x²: - Коэффициент перед x⁴ положителен (1/4), поэтому функция имеет тип функции параболы. - Коэффициент перед x² отрицателен (-2), значит функция повернута вверх. Теперь, собрав всю информацию, построим график функции: график 3) Чтобы найти ромб наибольшей площади с данным условием, можно воспользоваться свойством ромбов, которое говорит, что диагонали ромба перпендикулярны и делят его на 4 прямоугольных треугольника равной площади. Пусть длина одной диагонали r, а длина другой диагонали s. Тогда сумма длин диагоналей r + s = 10. По свойству ромба, площадь ромба равна S = (1/2)r * (1/2)s = rs/4. Найдем выражение для площади в терминах одной диагонали. Заметим, что прямоугольные треугольники в ромбе являются равнобедренными. Поэтому сторона ромба равна диагонали, и каждая из диагоналей является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников получаем: (r/2)² + (s/2)² = (r + s)²/4 = (10/4)² = 25/4. Теперь, поскольку нам нужно найти ромб наибольшей площади, то нужно найти длину диагоналей, для которых площадь будет максимальной. Для этого решаем уравнение: (r/2)² + (s/2)² = 25/4. Одно из решений данного уравнения будет представлять диагонали ромба наибольшей площади. 4) Чтобы найти направления выпуклости графика функции y = x + 4/(x + 2), нужно найти вторую производную. Сначала найдем первую производную функции: y' = 1 - 4/(x + 2)². Теперь найдем вторую производную, взяв производную от первой производной: y'' = d/dx (1 - 4/(x + 2)²) = 0 + 8/(x + 2)³. Знак второй производной определит направления выпуклости графика функции: - Если y'' > 0, то график функции вогнутый вверх, то есть функция выпуклая вниз. - Если y'' < 0, то график функции вогнутый вниз, то есть функция выпуклая вверх. В данном случае, y'' = 8/(x + 2)³ > 0 для всех x ≠ -2. Значит, график функции выпуклый вниз за исключением точки x = -2. Это ответ на все вопросы. Если у тебя остались еще вопросы, буду рад помочь!