1. Из набора, состоящего из 20 красок, надо выбрать 2 краски для окрашивания поделки. Сколькими можно сделать этот выбор?
2. Имеется шесть роз разного цвета. Сколькими можно составить букет из трех роз?
3. На полке стоят 10 учебников и словарь. Сколькими можно выбрать четыре книги при условии, что среди них будет словарь?
4. На полке стоят 15 книг, среди которых есть словарь. Сколькими можно выбрать четыре книги при условии, что среди них не будет словаря?
5. В классе 7 мальчиков и 16 девочек. Для выполнения шефской работы нужно выбрать 4 мальчика и 2 девочки. Сколькими это можно сделать

1. Для выбора 2 красок из набора из 20 красок, мы можем использовать формулу комбинаторики "размещение без повторений". Формула для этого случая будет иметь вид:

A(n, k) = n! / (n - k)!

где n - количество элементов в наборе, а k - количество элементов, которые мы выбираем из набора.

В данном случае, n = 20 (количество красок в наборе) и k = 2 (количество красок, которые мы выбираем). Подставим значения в формулу:

A(20, 2) = 20! / (20 - 2)!
= 20! / 18!
= 20 * 19 * 18! / 18!
= 20 * 19
= 380

Таким образом, можно сделать выбор из 380 комбинаций.

2. Для составления букета из трех роз разного цвета мы можем использовать формулу "сочетания без повторений". Формула для этого случая будет иметь вид:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

где n - общее количество элементов, а k - количество элементов, которое мы выбираем.

В данном случае, n = 6 (количество роз разного цвета) и k = 3 (количество роз, которые мы выбираем). Подставим значения в формулу:

C(6, 3) = 6! / (3! * (6 - 3)!)
= 6! / (3! * 3!)
= 6 * 5 * 4 / (3 * 2 * 1)
= 20

Таким образом, можно составить букет из 20 комбинаций.

3. Для выбора четырех книг, включая словарь, на полке из 10 учебников и словаря, мы можем использовать формулу "сочетания без повторений". Формула для этого случая будет иметь вид:

C(n-1, k-1) = (n-1)! / ((k-1)! * (n-1 - (k-1))!)

где n - общее количество элементов на полке, а k - количество элементов, которое мы выбираем включая словарь.

В данном случае, n = 10 (количество учебников и словарь на полке) и k = 4 (количество книг, которые мы выбираем включая словарь). Подставим значения в формулу:

C(10-1, 4-1) = (10-1)! / ((4-1)! * (10-1 - (4-1))!)
= 9! / (3! * 6!)
= 9 * 8 * 7 / (3 * 2 * 1)
= 84

Таким образом, можно выбрать четыре книги, включая словарь, из 84 комбинаций.

4. Для выбора четырех книг, не включая словарь, на полке из 15 книг, включая словарь, мы можем использовать формулу "сочетания без повторений". Формула для этого случая будет иметь вид:

C(n-1, k) = (n-1)! / (k! * (n-1 - k)!)

где n - общее количество элементов на полке, а k - количество элементов, которое мы выбираем без словаря.

В данном случае, n = 15 (количество книг на полке, включая словарь) и k = 4 (количество книг, которые мы выбираем без словаря). Подставим значения в формулу:

C(15-1, 4) = (15-1)! / (4! * (15-1 - 4)!)
= 14! / (4! * 10!)
= (14 * 13 * 12 * 11) / (4 * 3 * 2 * 1)
= 1001

Таким образом, можно выбрать четыре книги, не включая словарь, из 1001 комбинации.

5. Для выбора 4 мальчиков и 2 девочек из класса, где есть 7 мальчиков и 16 девочек, мы можем использовать формулу "сочетания без повторений". Формула для этого случая будет иметь вид:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

где n - общее количество элементов в классе (мальчики и девочки), а k - количество элементов, которое мы выбираем (4 мальчика и 2 девочки).

В данном случае, n = 7+16 (общее количество мальчиков и девочек в классе) и k = 4+2 (количество мальчиков и девочек, которые мы выбираем). Подставим значения в формулу:

C(7+16, 4+2) = (7+16)! / ((4+2)! * (7+16 - (4+2))!)
= 23! / (6! * 17!)
= (23 * 22 * 21 * 20 * 19 * 18) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
= 42,504

Таким образом, можно выбрать 4 мальчиков и 2 девочки из класса из 42,504 комбинаций.