1.Функция задана формулой f (х) = х2/2 – 3х. Найдите: 1) f (2) и f (–3); 2) нули функции. 2.Найдите область определения функции f (х) = (x – 5)/(x2 + x – 6).
3.Постройте график функции f (х) = х2 – 2х – 3. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства f (x) < 0.
4.Постройте график функции: 1) f (х) = √x + 3; 2) f (х) = √[x + 3].
5.Найдите область определения функции f (х) = √[х – 3] + 4/(x2 – 25).
6.При каких значениях b и c вершина параболы у = –2х2 + bx + c находится в точке A (2; 1)?

Функция задана формулой f(x) = 1/(2x^2) + 3x. Чтобы найти f(2), нужно вместо буквы х подставить число 2.

1) f(2) = 1/(2 * 2^2) + 3 * 2 = 1/8 + 6 = 6 1/8 = 6,125.

2) Найдем f(-1), х = -1:

f(-1) = 1/(2 * (-1)^2) + 3 * (-1) = 1/2 - 3 = -2 1/2 = -2,5.

3) Нули функции - это точки пересечения графика функции с осью х, в этих точках f(x) = 0.

1/(2x^2) + 3x = 0;

1/(2x^2) = -3x;

-(2x^2) * 3x = 1;

-6x^3 = 1;

x^3 = -1/6;

х = -3√1/6.

Добрый день! Давайте разберем по очереди каждый из вопросов.

1. Функция задана формулой f(x) = x^2/2 - 3x.

a) Чтобы найти f(2), нужно подставить x = 2 в формулу функции:
f(2) = (2^2)/2 - 3*2 = 4/2 - 6 = 2 - 6 = -4.

b) Чтобы найти f(-3), нужно подставить x = -3 в формулу функции:
f(-3) = (-3^2)/2 - 3*(-3) = 9/2 + 9 = 18/2 + 9 = 9 + 9 = 18.

2. Чтобы найти нули функции, нужно приравнять функцию к нулю и решить полученное уравнение:
(x - 5)/(x^2 + x - 6) = 0.
Для этого нужно разложить числитель и знаменатель функции на множители:
(x - 5)/((x - 2)(x + 3)) = 0.
Теперь мы видим, что функция равна нулю, если числитель равен нулю: x - 5 = 0.
Решаем это уравнение и находим значение x: x = 5.
Также функция равна нулю, если знаменатель равен нулю: (x - 2)(x + 3) = 0.
Решаем это уравнение и находим значения x: x - 2 = 0, x = 2; x + 3 = 0, x = -3.
Таким образом, нули функции f(x) = (x - 5)/(x^2 + x - 6) равны x = 5, x = 2 и x = -3.

3. Построим график функции f(x) = x^2 - 2x - 3.

a) Чтобы найти область значений функции, нужно определить, какие значения y (значения функции) могут принимать.
Обратите внимание, что у нас есть парабола, которая открывается вверх, так как у коэффициента x^2 положительный.
Мы видим, что вершина параболы будет самой нижней точкой (минимумом) на графике.
Чтобы найти вершину параболы, нужно найти x-координату, которая задается формулой x = -b/2a, где a и b это коэффициенты перед x^2 и x соответственно.
В нашем случае a = 1 и b = -2:
x = -(-2)/2(1) = 2/2 = 1.
Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, f(1)), где f(1) это значение функции при x = 1:
f(1) = 1^2 - 2*1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.
Таким образом, вершина параболы находится в точке (1, -4).
Область значений функции будет все значения y, которые могут принимать точки на параболе. Так как парабола открывается вверх, вершина является минимумом функции, поэтому область значений функции будет [f(1), ∞).
Область значений функции f(x) = x^2 - 2x - 3 будет [-4, ∞).

b) Промежуток убывания функции - это интервал или промежуток, на котором функция уменьшается. Чтобы найти промежуток убывания, нужно найти значения x, при которых функция уменьшается. В данном случае у нас есть парабола, которая открывается вверх. Это означает, что функция будет убывать до точки (1, -4) и возрастать после нее. Таким образом, промежуток убывания функции f(x) = x^2 - 2x - 3 будет (-∞, 1).

c) Множество решений неравенства f(x) < 0 - это интервал или промежуток, на котором функция меньше нуля. Чтобы найти множество решений неравенства, нужно решить неравенство: f(x) < 0.
Для этого нужно найти значения x, при которых функция меньше нуля. В данном случае, чтобы найти эти значения, нужно определить, где на графике функции находятся отрицательные числа (y < 0).
Обратите внимание, что мы уже нашли промежуток убывания функции, который составляет (-∞, 1), значит, все значения функции на этом промежутке меньше нуля.
Таким образом, множество решений неравенства f(x) < 0 будет (-∞, 1).

4. Построим графики функций:

a) f(x) = √x + 3.

b) f(x) = √(x + 3).

5. Чтобы найти область определения функции f(x) = √(x - 3) + 4/(x^2 - 25), нужно определить, какие значения x могут быть подставлены в функцию без деления на ноль и без извлечения корня из отрицательного числа.
Чтобы избежать деления на ноль, значит x^2 - 25 не должно быть равно нулю.
(x - 5)(x + 5) ≠ 0.
(x - 5) ≠ 0, значит x ≠ 5.
(x + 5) ≠ 0, значит x ≠ -5.
Таким образом, область определения функции f(x) = √(x - 3) + 4/(x^2 - 25) будет (-∞, -5) U (-5, 5) U (5, +∞).

6. Чтобы найти значения b и c, при которых вершина параболы y = -2x^2 + bx + c находится в точке A(2,1), нужно подставить значения координат вершины в уравнение параболы.

a) Подставим x = 2 и y = 1:
1 = -2(2)^2 + 2b + c.
1 = -8 + 2b + c.

b) Также, чтобы найти значение b и c, мы можем использовать факт о том, что вершина параболы находится в точке (-b/2a, f(-b/2a)).
Мы знаем, что вершина параболы находится в точке A(2,1), поэтому (-b/2a, f(-b/2a)) = (2,1).
Таким образом, -b/2a = 2 и f(-b/2a) = 1.

c) Теперь мы имеем систему уравнений:
1 = -8 + 2b + c,
-b/2a = 2,
f(-b/2a) = 1.

d) Решим систему уравнений методом подстановки или методом сложения:
-b/2(-2) = 2,
-b = 4,
b = -4.

e) Подставим b = -4 в первое уравнение:
1 = -8 + 2(-4) + c,
1 = -8 - 8 + c,
1 = -16 + c,
c = 17.

Таким образом, вершина параболы y = -2x^2 + bx + c находится в точке A(2,1), когда b = -4 и c = 17.

Надеюсь, ответы были понятны и полезны! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!