1. Дифференцируемая функция может иметь экстремум в тех точках, где:
1)производная не существует; 2) производная равна нулю;
3) производная равна нулю и не существует.

2. На рисунке изображён график производной функции, определённой на
интервале (-7; 4). Определите промежутки возрастания и убывания функции.

3. Для функции f(x) =х3 – 2х2 + х + 3
а) Найдите экстремумы функции;
б) Найдите интервалы возрастания и убывания функции
в) Найдите точки перегиба
г) Постройте график функции f(x) = х3- 2х2 +х +3 на отрезке .
д) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х3- 2х2 +х +3 на отрезке .

1. Дифференцируемая функция может иметь экстремум в следующих случаях:
- В точках, где производная не существует. Это может произойти, например, если функция имеет разрывы или угловые точки. Производная представляет скорость изменения функции, и если она не существует в какой-то точке, это может указывать на наличие экстремума.
- В точках, где производная равна нулю. Если производная функции обращается в ноль, это может указывать на наличие максимума или минимума в этой точке. Например, если функция имеет локальный максимум, производная будет равна нулю в этой точке.
- В точках, где производная равна нулю и не существует. Наличие таких точек может также указывать на наличие экстремума. Примером такой функции может быть функция с разрывной производной, имеющая минимум или максимум.

2. Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции по графику ее производной, нужно смотреть на знак производной на заданном интервале.
- Если производная положительна на интервале, то функция возрастает на этом интервале.
- Если производная отрицательна на интервале, то функция убывает на этом интервале.
- Если производная равна нулю внутри интервала, то функция может иметь экстремум на этом интервале.

3. Для функции f(x) = x^3 – 2x^2 + x + 3:

а) Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти точки, где производная функции равна нулю. Сначала найдем производную функции:
f'(x) = 3x^2 - 4x + 1.

Затем приравниваем производную к нулю и решаем полученное уравнение:
3x^2 - 4x + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью формулы дискриминанта или методом факторизации. Решив уравнение, найдем две точки, где производная равна нулю. Пусть эти точки называются х1 и х2.

б) Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, нужно анализировать знак производной функции на интервалах, разделенных экстремальными точками х1 и х2.
- Если производная положительна на интервале от минус бесконечности до х1, то функция возрастает на этом интервале.
- Если производная отрицательна на интервале от х1 до х2, то функция убывает на этом интервале.
- Если производная положительна на интервале от х2 до плюс бесконечности, то функция возрастает на этом интервале.

в) Чтобы найти точки перегиба функции, нужно найти значения x, при которых меняется выпуклость или вогнутость графика функции. Для этого нужно найти значения второй производной функции и решить уравнение f''(x) = 0.

г) Чтобы построить график функции f(x) на отрезке, нужно использовать найденные экстремумы, интервалы возрастания и убывания, а также точки перегиба. Для этого можно составить таблицу со значениями x, f(x), f'(x), f''(x) и использовать эту информацию для построения графика.

д) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, можно подставить конечные точки отрезка и найденные экстремумы в функцию f(x) и выбрать наибольшее и наименьшее значение из полученных результатов.