1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

Добрый день!

Чтобы решить это уравнение, нам нужно использовать метод математической индукции. Это позволяет доказать, что уравнение выполняется для всех положительных целых чисел.

Шаг 1: Проверка базового случая
Для доказательства методом математической индукции нам сначала необходимо проверить базовый случай уравнения. Здесь базовый случай - это когда n=1. Давайте вычислим левую и правую части уравнения для n=1.

Левая часть:
1×2=2

Правая часть:
1(1+1)(1+2)/3=1×2×3/3=2

Мы видим, что для базового случая левая и правая части уравнения совпадают. Таким образом, базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что уравнение верно для некоторого положительного целого числа k, т.е.

1×2+2×3+3×4+...+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3

Это предположение называется индукционной гипотезой.

Шаг 3: Доказательство для (k+1)
Теперь нам нужно доказать, что уравнение также верно для k+1, используя индукционное предположение.

Левая часть:
1×2+2×3+3×4+...+k(k+1)+(k+1)(k+2)

Мы знаем, что
1×2+2×3+3×4+...+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3 (индукционная гипотеза)

Подставим это значение в уравнение:

к(k+1)(k+2)/3+(k+1)(k+2)

Давайте вынесем общий множитель (k+1):

(к+1)(к+2)[к/3+1]

Мы можем видеть, что этот результат соответствует правой части уравнения для k+1:

(к+1)(к+2)(к/3+1)= (к+1)(к+2)(к+3)/3

Таким образом, мы доказали, что уравнение верно и для k+1.

Шаг 4: Вывод
Мы применили метод математической индукции, чтобы доказать, что равенство n(n+1)(n+2)/3 справедливо для всех положительных целых чисел.

С уважением,
Ваш учитель