Как пишется в этом случае слово не важно или неважно 1)мне не важно, что обо мне говорят за моей спиной, пока обо мне говорят неправду. 2)мне неважно, что обо мне говорят за моей спиной, пока обо мне говорят неправду.

Если есть слова совершенно,очень,чрезвычайно + наречие,то пишем слитно.Если наречие можно заменить синонимом-тоже слитно. Если есть противопоставление,наречие нельзя заменить синонимом, есть слова отнюдь,вовсе,совсем,ничуть,нисколько,далеко- то пишем раздельно.Можно вставить слово между НЕ и наречием,например слово очень,то пишется раздельно. Если нельзя-слитно.Неважно-значит плохо,не важно-значит не является важным. В нашем случае пишем слитно, можно вставить слово очень и значение-не является важным.

Конечно же отдельно, вместе писалось бы, если бы отвечало на вопрос как?, например, неважно себя чувствую