Без рук,без ног,а ворота открывает. объясните правила написания выделеных орфограмм.

РуК пишем "К" проверочное слово руКи, ноГ пишем "Г" проверочное слово ноГи.
Чтобы проверить парную согласную надо изменить слово так, чтобы после неё стояла гласная.