Задано вершини кута ABCD . Знайти 1) периметр основи ABC ; 2) Кут між ребрами AB і AD ; 3) Площу грані ABC . 4) рівняння площини ABC . Якщо А(-2;0;0) В(2;1;2) C(3;-1;2) D(1;2;1)

1) Находим длины рёбер.

                                    x y z Квадрат Длина ребра  

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 4 1 2 21 4,582575695  

Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}  1 -2 0 5 2,236067977  

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}  5 -1 2 30 5,477225575  

Вектор АD={xD-xA  , yD-yA, zD-zA}  3 2 1 14 3,741657387  

Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}  -1 1 -1 3 1,732050808  

Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}  -2 3 -1 14 3,741657387

Прериметр АВС равен 12,29586925.

2) cos(AB_AD) = (4*3 + 1*2 + 2*1)/(√21*√14) = 16/(7√6) =

                        = 16/17,1464282 = 0,93313895

Угол равен 0,367749 радиан или  21,07047 градуса.

3) Площадь раавна половине модуля векторного произведения векторов АВ иАС.

  i       j      k|       i        j

4      1       2|      4       1

5     -1       2|     5      -1 = 2i + 10j - 4k - 8j + 2i - 5k = 4i + 2j - 9k = (4; 2; -9).

S = (1/2)*√(16 + 4 + 81) = (1/2)*√101  ≈ 5,02494 кв.ед.

4) Для определения уравнения плоскости по трём точкам есть развёрнутая формула решения матрицы.

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно.                

(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек А, В и С получаем ответ:

4 x + 2 y + -9 z + 8 = 0.

Вот её полная версия.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA         y - yA            z - zA

xB - xA      yB - yA         zB - zA

xC - xA      yC - yA          zC - zA  = 0.

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-2)      y - 0        z - 0

2 - (-2)       1 - 0       2 - 0

3 - (-2)      (-1) - 0      2 - 0  = 0

x - (-2)      y - 0      z - 0

  4            1             2

  5           -1             2   = 0

x - (-2)1·2-2·(-1)  -  y - 0 4·2-2·5 + z - 0  4·(-1)-1·5 = 0

4 x - (-2)  + 2y - 0  + (-9) z - 0  = 0

4x + 2y - 9z + 8 = 0.