Задания по теме "Последовательности":

1. Составьте возможную формулу n-го элемента последовательности (yn), если последовательность имеет вид: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... .

2. Выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно: y1=1, y2=3, yn=yn-2+yn-1.

3. Найдите формулу n-го элемента и сумму первых 15 элементов арифметической прогрессии с первым элементом 3,4 и разностью 0,9.

4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем −23−23

5. В арифметической прогрессии a5= -150, a6= -147. Найдите номер первого положительного элемента этой последовательности.

6. Укажите наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии 22,7; 21,4; ... .

7. Дана последовательность yn=12n + 8 - 2,5n2.

а) Сколько в ней положительных элементов?

б) Найти наибольший элемент последовательности.

в) Есть в данной последовательности наименьший элемент?

1. Для того чтобы найти формулу n-го элемента последовательности (yn), нам нужно найти закономерность или шаблон в числах в последовательности. Заметим, что каждый следующий элемент последовательности увеличивается на 2, то есть разница между соседними элементами равна 2. Также первый элемент последовательности равен 2. Зная это, мы можем выразить n-й элемент последовательности следующим образом: yn = 2 + 2*(n-1). Где n - порядковый номер элемента в последовательности.

2. Для того чтобы выписать первые десять элементов последовательности заданной рекуррентно, мы можем использовать формулу yn = yn-2 + yn-1. У нас даны первые два элемента последовательности: y1 = 1 и y2 = 3. Согласно формуле, чтобы найти следующий элемент (y3), мы должны сложить предыдущие два: y3 = y1 + y2 = 1 + 3 = 4. Аналогично, чтобы найти y4, мы должны сложить y2 и y3: y4 = y2 + y3 = 3 + 4 = 7. Продолжая этот процесс, мы получим следующие элементы последовательности: y5 = 11, y6 = 18, y7 = 29, y8 = 47, y9 = 76, y10 = 123.

3. Для того чтобы найти формулу n-го элемента арифметической прогрессии и сумму первых 15 элементов, мы должны использовать следующие формулы:

Формула для нахождения n-го элемента арифметической прогрессии: an = a1 + (n-1)d, где an - n-й элемент, a1 - первый элемент, d - разность.

Формула для нахождения суммы первых n элементов арифметической прогрессии: Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d), где Sn - сумма первых n элементов, n - количество элементов, a1 - первый элемент, d - разность.

У нас даны первый элемент (a1 = 3,4) и разность (d = 0,9), поэтому мы можем найти n-й элемент как: an = 3,4 + (n-1)*0,9. Чтобы найти сумму первых 15 элементов, мы можем использовать формулу для суммы Sn = (15/2)(2*3,4 + (15-1)*0,9).

4. Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 3,5 и знаменателем -23, мы можем использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии: S = a / (1 - r), где S - сумма, a - первый член, r - знаменатель.

Подставив значения, получим S = 3,5 / (1 - (-2/3)).

5. Чтобы найти номер первого положительного элемента арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу для нахождения n-го элемента арифметической прогрессии: an = a1 + (n-1)d, где an - n-й элемент, a1 - первый элемент, d - разность.

У нас даны значения a5 = -150 и a6 = -147. Мы можем подставить значения в формулу и решить уравнение -150 = a1 + (5-1)d и -147 = a1 + (6-1)d, чтобы найти первый положительный элемент.

6. Чтобы найти наиболее близкий к нулю элемент арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу для нахождения n-го элемента арифметической прогрессии: an = a1 + (n-1)d, где an - n-й элемент, a1 - первый элемент, d - разность.

Мы можем вычислить разность между каждым элементом и нулем: |22,7 - 0| = 22,7, |21,4 - 0| = 21,4. Таким образом, элемент 21,4 наиболее близкий к нулю.

7. Для последовательности yn = 12n + 8 - 2,5n^2.

а) Чтобы найти количество положительных элементов, мы должны посчитать, сколько раз yn > 0. Для этого нам нужно решить неравенство 12n + 8 - 2,5n^2 > 0.

б) Чтобы найти наибольший элемент последовательности, мы можем использовать формулу yn = 12n + 8 - 2,5n^2 и посчитать значение yn для каждого значения n. Затем мы выберем наибольшее значение.

в) Чтобы найти наименьший элемент последовательности, мы также можем использовать формулу yn = 12n + 8 - 2,5n^2 и посчитать значение yn для каждого значения n. Затем мы выберем наименьшее значение.