Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=4x

Считаем площадь фигуры между двумя графиками по формуле

S= \int\limits^a_b {((f(x)-g(x))} \, dxS=

b

∫

a

((f(x)−g(x))dx ,

где f(x)- кривая, график, которой расположен выше кривой у=g(x);

a и b - абсциссы точек пересечения графиков; a<b.

Строим графики функций ( см. рис. в приложении):

у=4х-х²- парабола, ветви которой направлены вверх, точки пересечения с осью Ох:

х=0; х=4

Координаты вершины (2;4).

у=4-х - прямая, проходящая через точки (0;4) и (4;0).

Находим абсциссы точек пересечения графиков функций:

4х-х²=4-х;

х²-5х+4=0

D=25-4·4=9

x=(5-3)/2=1 или х=(5+3)/2=4

\begin{gathered}S= \int\limits^4_1 {((4x- x^{2})-(4-x))} \, dx= \\ \\ =\int\limits^4_1 {(4x- x^{2}-4+x)} \, dx= \\ \\ = \int\limits^4_1 {(5x- x^{2}-4)} \, dx= \\ \\ =( 5\cdot \frac{ x^{2} }{2} - \frac{x^3}{3}-4x)| ^4_1= ( 5\cdot \frac{ 4^{2} }{2} - \frac{4^3}{3}-4\cdot 4)-( 5\cdot \frac{ 1^{2} }{2} - \frac{1^3}{3}-4)=\end{gathered}

S=

1

∫

4

((4x−x

2

)−(4−x))dx=

=

1

∫

4

(4x−x

2

−4+x)dx=

=

1

∫

4

(5x−x

2

−4)dx=

=(5⋅

2

x

2

−

3

x

3

−4x)∣

1

4

=(5⋅

2

4

2

−

3

4

3

−4⋅4)−(5⋅

2

1

2

−

3

1

3

−4)=

40 - \frac{64}{3}-16- \frac{5}{2} + \frac{1}{3}+4=4,540−

3

64

−16−

2

5

+

3

1

+4=4,5

кв. ед.

О т в е т. S=4,5 кв. ед.

правда реално

Пошаговое объяснение:

мне странно выглядит