Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x^2+4, y=3

Добрый день! Рад представиться вам в роли вашего школьного учителя и объяснить, как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 3.

Для начала, давайте визуализируем данные линии на графике.

На оси x у нас будет значением от -5 до 5, а на оси y от -5 до 5.

Линия y = -x^2 + 4 состоит из кривой параболы. Когда x = 0, y будет равно 4. Если мы увеличиваем значения x, y будет уменьшаться, так как -x^2 даёт отрицательные значения при увеличении x.

Линия y = 3 будет горизонтальная линия, параллельная оси x, на одной высоте y = 3.

Теперь, чтобы найти точки пересечения этих двух линий, мы приравниваем уравнения и решаем уравнение:

-x^2 + 4 = 3

Перепишем уравнение:

-x^2 = -1

Для удобства, домножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента:

x^2 = 1

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, так как ищем значения x:

x = ±1

То есть, точки пересечения линий находятся в (1, 3) и (-1, 3).

Теперь, нам нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями.

В данном случае, фигура будет иметь форму параболы, ограниченной горизонтальной линией. Площадь можно найти при помощи интеграции.

Сначала нам нужно найти точки, где парабола пересекает горизонтальную линию y = 3. Мы это уже сделали выше и получили точки (1, 3) и (-1, 3).

Теперь, чтобы вычислить площадь, мы будем интегрировать функцию параболы между этими точками.

Площадь фигуры равна интегралу функции параболы на отрезке между -1 и 1.

Итак, площадь S будет равна:

S = ∫[-1, 1] (-x^2 + 4) dx

Давайте проинтегрируем это выражение:

S = [-x^3/3 + 4x] [-1, 1]

Сначала подставим верхний предел интегрирования, то есть подставим x = 1:

S = (-(1)^3/3 + 4(1))

S = (-1/3 + 4)

S = 13/3

Теперь подставим нижний предел интегрирования, то есть подставим x = -1:

S = (-(1)^3/3 + 4(1)) - (-( -1)^3/3 + 4(-1))

S = (-1/3 + 4) - (-1/3 - 4)

S = 13/3 - (-13/3)

S = 26/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 4 и y = 3, равна 26/3.

Надеюсь, я смог вам помочь и ответить на ваш вопрос. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!