Вкаждом из двух сосудов находится по а литров воды. из первого сосуда переливают половину имеющийся воды во второй сосуд, затем из второго переливают треть имеющийся воды в первый, затем из первого переливают четверть имеющийся воды во второй и так далее. сколько воды окажется в каждом из сосудов после ста переливаний?

Начнем сначало рассуждать влом ,попытаясь  заметить закономерность
1)переливаем  половину  остается A/2  во 2  будет  3A/2  далее отливаем  1/3  это
3A/2/3=A/2  тогда  тут останется 2A/2=A а в 1  A/2+A/2=A)
Не трудно догадатся что на четном переливании мы всегда  будем приходит к  равенству A и A
попробуем доказать это строго.пусть в одном A,и вдругом A  сначало перельем 
1/n  часть а от  полученной 1/n+1
Итак после отливания от 1 ,в ней останется A-A/n во  2 прибавится   A+A/n=A(1+1/n)=A*(n+1)/n  найдем  1/n+1   часть   A(n+1)/n/n+1=A/n  
переливая ее  во 2  останется    A*n/n=A  в 1   A-A/n+A/n=A Что и требовалось доказать.теперь понятно  что если на  2 разе  у нас получилось A и A,то и  на 4  будет A и A,и на любом четном переливании.100  число четное ,тогда на ней как  раз ,будет  A и A