В треугольник с основанием 10 см и высотой 8 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите периметр этого прямоугольника.​

Добрый день! Давайте решим задачу по нахождению периметра прямоугольника, вписанного в треугольник.

Для начала, вспомним основные свойства треугольника и прямоугольника. Треугольник имеет три стороны и высоту, а прямоугольник имеет четыре стороны.

У нас есть треугольник с основанием 10 см и высотой 8 см. Давайте нарисуем этот треугольник:

|\
| \
8см| \ Три стороны треугольника:
| \ AB = 10см,
| \ BC = 8см,
|_____\ AC = 10см.

Данный треугольник здесь изображен сплющенным, чтобы вписанный прямоугольник был более наглядным.

Теперь, нам нужно найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в данный треугольник. Для этого, нам будет полезен факт, что прямоугольник наибольшей площади, вписанный в данный треугольник, является прямоугольником, у которого одна сторона параллельна основанию треугольника, а другая сторона проходит через вершину треугольника и перпендикулярна основанию. Почему это так?

Если сторона прямоугольника проходит через вершину треугольника и перпендикулярна основанию, то для данного значений основания и высоты, прямоугольник имеет наибольшую площадь. Это можно легко увидеть, если представить себе прямоугольник, который не удовлетворяет этому условию - площадь такого прямоугольника будет меньше, чем площадь прямоугольника, который удовлетворяет данному условию.

Теперь мы знаем, что наш прямоугольник должен иметь одну сторону, параллельную основанию треугольника. Мы можем обозначить эту сторону как x (см):

|\
| \
8см| \ Три стороны треугольника:
| \ AB = 10см,
| \ BC = 8см,
|_____\ AC = 10см.
\
\ x

Теперь, чтобы найти другую сторону прямоугольника, проходящую через вершину треугольника и перпендикулярную основанию, мы можем воспользоваться подобием треугольников. По свойству прямоугольных треугольников, мы знаем, что в прямоугольном треугольнике ABC со сторонами AB, BC и AC, прямой угол находится напротив гипотенузы AC.

Так как у нас имеется прямой угол между сторонами треугольника BC и AB, мы можем сделать вывод, что прямой угол также будет находиться напротив стороны AC. Это означает, что мы можем указать другую сторону прямоугольника, проходящую через вершину треугольника и перпендикулярную основанию, как y (см):

|\
| \
8см| \
| \
| \
|_____\
\
\ x
\
\ y

Теперь, у нас есть две стороны прямоугольника - x и y. Площадь прямоугольника равна произведению этих двух сторон: Площадь прямоугольника = x * y.

Мы нужно найти прямоугольник наибольшей площади. Для этого, мы можем использовать известный метод нахождения экстремумов, который гласит, что экстремум (максимум или минимум) функции достигается на ее краях или в точках, где производная функции равна нулю. В данном случае, мы можем считать площадь прямоугольника как функцию от x и y.

Площадь прямоугольника = S = x * y.

Теперь давайте запишем площадь треугольника через формулу, которая нам известна: Площадь треугольника = Sтр = (0.5 * AB * BC) = (0.5 * 10 * 8) = 40 см^2.

Мы знаем, что площадь прямоугольника должна быть максимальной. Для того, чтобы найти этот максимум, мы можем применить метод экстремумов:

∂S/∂x = y = 0 => y = 0,
∂S/∂y = x = 0 => x = 0.

Оба этих условия не выполняются, так как в прямоугольнике нулевая сторона не имеет смысла. Следовательно, максимум площади прямоугольника будет достигнут при выполнении условия:

∂S/∂x = y = 0 => y = 0.

Теперь, мы знаем, что одна из сторон прямоугольника равна 0, а другая расчитывается следующим образом:

y = 8 - x.

Подставим это значение y в формулу площади прямоугольника:

S = x * y = x * (8 - x) = 8x - x^2.

Мы получили функцию, которую нужно максимизировать. Для этого, найдем производную этой функции:

dS/dx = 8 - 2x.

Чтобы найти наибольшее значение x, равное периметру прямоугольника, при котором функция S достигает максимума, приравняем производную к нулю:

8 - 2x = 0 => 2x = 8 => x = 4.

Теперь, мы знаем, что одна из сторон прямоугольника равна 4 см. Подставим это значение в уравнение для y:

y = 8 - x = 8 - 4 = 4.

Таким образом, вписанный прямоугольник наибольшей площади в треугольник с основанием 10 см и высотой 8 см имеет размеры 4 см х 4 см.

Для нахождения периметра прямоугольника, нужно сложить все его стороны:

Периметр = 2(x + y) = 2(4cm + 4cm) = 2 * 8 см = 16 см.

Таким образом, периметр вписанного прямоугольника равен 16 см.