Требуется изготовить бак без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, в
основании которого лежит квадрат, а объем равен 2662 см3. При каких размерах бака на его
изготовление пойдет наименьшее количество материала?

Добрый день! Для решения данной задачи, нам понадобится определить размеры бака, при которых будет использовано наименьшее количество материала.
Для начала, давайте разберемся с формулой для объема прямоугольного параллелепипеда. Объем V параллелепипеда определяется как произведение длины (L), ширины (W) и высоты (H) бака:
V = L * W * H

В данной задаче у нас дано, что объем равен 2662 см³. Мы хотим определить размеры бака, при которых будет использовано наименьшее количество материала. Для этого нам необходимо представить формулу для объема бака в виде функции, в которой одна переменная будет выражать другие переменные.

Так как основание бака лежит в форме квадрата, то длина L и ширина W будут равны между собой и обозначены как a. Также предположим, что высота H обозначена как h. Тогда формула для объема бака может быть записана как:

V = a * a * h

Теперь, зная формулу для объема бака, нам необходимо определить, при каких размерах бака будет использовано наименьшее количество материала. Для этого можно использовать метод нахождения экстремумов функции.

1. Найдем производную функции объема V по переменной а:
dV/da = 2 * a * h

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:
2 * a * h = 0
На данном этапе возможны два варианта:
- a = 0, но так как а - размер стороны бака, то ноль в данном случае не имеет смысла.
- h = 0, это означает, что высота бака равна нулю. Но так как бак должен иметь объем, то эта точка также не имеет смысла.

3. Исследуем функцию на экстремумы, приравнивая производную к нулю и подставляя значения переменных, где функция имеет смысл.
d²V/da² = 2h
Для нахождения типа экстремума, необходимо исследовать знак второй производной:
- Если d²V/da² > 0, то экстремум является минимумом.
- Если d²V/da² < 0, то экстремум является максимумом.

В данном случае, у нас нет никаких ограничений на значения переменных, а значит, у нас нет возможности определить тип экстремума. Поэтому, мы примем, что значение экстремума является минимумом.

Таким образом, мы получили, что при изготовлении бака без крышки в виде прямоугольного параллелепипеда, с основанием в виде квадрата, наименьшее количество материала будет использовано, когда размеры бака являются квадратами.