Существует ли натуральное число краткое 2015, сумма цифр которого равна 2015

КРАТНОЕ, - надо полагать?
Конечно, существует. Главное, чтобы оно оканчивалось на число, кратное 2015.
Например, число, состоящее из 229 "девяток" и в конце 2015
Сумма цифр 2015 составляет 8, значит оставшиеся цифры в сумме должны дать 2007. Поскольку сумма цифр кратна 9, мы можем в качестве составляющих цифр выбрать девятки. Количество этих девяток 2007/9 = 223.
Можно, конечно, и тройки выбрать...)) В этом случае их придется взять 669, а в конце - так же 2015
Можно рассмотреть варианты, когда число оканчивается на 4030, 6045 и 8060, а также 10075, 12090 и так далее. Принцип тот же, но, все-таки, число, состоящее, в большинстве своем, из девяток, будет несколько короче, чем из других цифр...))) (ёлки! - 8 запятых в предложении...