Составить уравнение эллипса в канонической системе ко-ординат, если расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины на оси 8

Каноническое уравнение эллипса:

x²/a² + y²/b² = 1.

Расстояние от директрисы до вершины на оси - 8, а до ближайшей вершины - 4 =>

a = 8 - 4 = 4

a/e = 8, e = c/a => a²/c = 8

c = a²/8 = 16/8 = 2

b² = a² - c² = 16 - 4 = 12

Получаем уравнение эллипса:

x²/16 + y²/12 = 1.

Добрый день! Рад, что ты обратился ко мне за помощью. Давай разберемся с этой задачей.

Перед тем, как составить уравнение эллипса в канонической системе координат, давай вспомним некоторые определения, чтобы быть в курсе.

Эллипс - это геометрическая фигура, образованная точками, для которых сумма расстояний до двух фокусов одинакова. В уравнении эллипса часто используются следующие термины:

1. Фокусы (F1 и F2) - это две точки, для которых сумма расстояний до них от любой точки на эллипсе постоянна.
2. Директрисы (D1 и D2) - это две прямые, расположенные находятся симметрично относительно эллипса и параллельны между собой. Расстояние от директрисы до ближайшей вершины эллипса обычно обозначается как "a", а расстояние от директрисы до самой дальней вершины эллипса - "c".
3. Центр эллипса (O) - это точка пересечения осей координат.

Теперь перейдём к решению задачи.

Из условия задачи известно, что расстояние от директрисы до ближайшей вершины эллипса равно 4 (a = 4), а до вершины на оси равно 8 (c = 8).

Мы можем использовать следующие уравнения эллипса в канонической форме:

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1, где (h,k) - координаты центра эллипса.

У нас уже есть информация о центре эллипса, так как он находится в канонической системе координат. Однако, чтобы приступить к составлению уравнения эллипса, нам необходимо найти второй параметр - b.

Мы можем использовать следующую формулу для нахождения параметра b:

b = √(c²-a²)

Подставим значения a и c в формулу и найдём b:

b = √(8²-4²) = √(64-16) = √48 ≈ 6.93

Отлично, мы нашли все необходимые параметры эллипса. Теперь составим уравнение эллипса:

(x-0)²/4² + (y-0)²/6.93² = 1

Уравнение эллипса в канонической системе координат будет иметь вид:

x²/16 + y²/47.89 = 1

Это и есть уравнение эллипса в канонической форме.

Надеюсь, что моё объяснение было достаточно подробным и понятным для тебя. Если у тебя возникнут ещё вопросы, не стесняйся задавать их, я всегда готов помочь!