Решите уравнение 4sin3x+sin5x-2sinxcos2x=0

Применены : формула преобразования произведения в сумму, формула преобразования суммы в произведение

Чтобы решить данное уравнение, мы будем использовать различные тригонометрические тождества и преобразования. Давайте разберемся пошагово:

1. Перепишите уравнение с использованием тригонометрических тождеств:
4sin(3x) + sin(5x) - 2sin(x)cos(2x) = 0

2. Применим формулу двойного угла для функции sin(2x):
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Заменим sin(2x) в уравнении:
4sin(3x) + sin(5x) - 2sin(x) * 2sin(x)cos(x) = 0

Упростим:
4sin(3x) + sin(5x) - 4sin^2(x)cos(x) = 0

3. Разложим sin(3x) по формуле суммы углов:
sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)cos(x) + sin(x)cos(2x)

Подставим это выражение в уравнение:
4(sin(2x)cos(x) + sin(x)cos(2x)) + sin(5x) - 4sin^2(x)cos(x) = 0

Упростим:
4sin(2x)cos(x) + 4sin(x)cos(2x) + sin(5x) - 4sin^2(x)cos(x) = 0

4. Сгруппируем слагаемые:
(4sin(2x)cos(x) + 4sin(x)cos(2x)) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(5x) = 0

5. Применим тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x) к первым двум слагаемым:
8sin(x)cos^2(x) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(5x) = 0

6. Факторизуем общий множитель sin(x):
sin(x) * (8cos^2(x) - 4sin(x)cos(x)) + sin(5x) = 0

7. Разложим 8cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) по формуле двойного угла для функции cos(2x):
8cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) = 8cos^2(x) - 2sin(2x) = 2(4cos^2(x) - sin(2x))

Заменим это выражение в уравнении:
sin(x) * (2(4cos^2(x) - sin(2x))) + sin(5x) = 0

8. Раскроем скобки:
8sin(x)cos^2(x) - 2sin(x)sin(2x) + sin(5x) = 0

9. Применим тригонометрическое тождество sin(2x) = 2sin(x)cos(x) ко второму слагаемому:
8sin(x)cos^2(x) - 2sin(x) * 2sin(x)cos(x) + sin(5x) = 0

Упростим:
8sin(x)cos^2(x) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(5x) = 0

10. Сгруппируем слагаемые:
8sin(x)cos^2(x) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(5x) = 0

11. Разложим cos^2(x) по формуле связи между cos^2(x) и sin^2(x):
cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Заменим это выражение в уравнении:
8sin(x)(1 - sin^2(x)) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(5x) = 0

Упростим:
8sin(x) - 8sin^3(x) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(5x) = 0

12. Разложим sin(5x) по формуле суммы и разности углов:
sin(5x) = sin(4x + x) = sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x)

Заменим это выражение в уравнении:
8sin(x) - 8sin^3(x) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x) = 0

13. Распишем sin^3(x) как (sin^2(x)) * sin(x):
8sin(x) - 8(sin^2(x)) * sin(x) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x) = 0

14. Сгруппируем слагаемые:
8sin(x) - 8sin^3(x) - 4sin^2(x)cos(x) + sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x) = 0

15. Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x) (по формуле связи между sin^2(x) и cos^2(x)):
8sin(x) - 8(1 - cos^2(x)) * sin(x) - 4(1 - cos^2(x))cos(x) + sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x) = 0

16. Упростим:
8sin(x) - 8sin(x) + 8cos^2(x)sin(x) - 4cos(x) + 4cos^3(x) - sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x) = 0

17. Сгруппируем слагаемые:
8cos^2(x)sin(x) - sin(4x)cos(x) + sin(x)cos(4x) - 4cos(x) + 4cos^3(x) = 0

18. Перепишем уравнение в виде суммы и разности sin(a ± b):
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Заменим в уравнении:
8cos^2(x)sin(x) + sin(x)cos(4x) - sin(4x)cos(x) - 4cos(x) + 4cos^3(x) = 0

Упростим:
sin(x)(8cos^2(x) + cos(4x)) - cos(x)(4 + sin(4x)) + 4cos^3(x) = 0

19. Заменим cos(4x) по формуле cos(4x) = cos^2(2x) - sin^2(2x):
sin(x)(8cos^2(x) + cos^2(2x) - sin^2(2x)) - cos(x)(4 + sin(4x)) + 4cos^3(x) = 0

20. Выражаем sin^2(2x) через cos^2(2x) с использованием тождества sin^2(2x) = 1 - cos^2(2x):
sin(x)(8cos^2(x) + cos^2(2x) - (1 - cos^2(2x))) - cos(x)(4 + sin(4x)) + 4cos^3(x) = 0

Упростим:
sin(x)(8cos^2(x) + cos^2(2x) - 1 + cos^2(2x)) - cos(x)(4 + sin(4x)) + 4cos^3(x) = 0

21. Сгруппируем слагаемые:
sin(x)(9cos^2(2x) + 8cos^2(x) - 1) - cos(x)(4 + sin(4x)) + 4cos^3(x) = 0

22. Заметим, что у нас есть два умножения sin(x) на cos(x), поэтому можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x) (по формуле связи между cos^2(x) и sin^2(x)):
sin(x)(9(1 - sin^2(2x)) + 8(1 - sin^2(x)) - 1) - cos(x)(4 + sin(4x)) + 4cos^3(x) = 0

23. Раскроем скобки и упростим:
9sin(x) - 9sin^3(2x) + 8sin(x) - 8sin^3(x) - 9 + sin^2(2x) + 8 - 8sin^2(x) - 1 - cos(x)(4 + sin(4x)) + 4cos^3(x) = 0

24. Сгруппируем слагаемые синусов и косинусов:
17sin(x) - 9sin^3(2x) - 8sin^3(x) + sin^2(2x) - 8sin^2(x) - cos(x)(4 + sin(4x)) + 4cos^3(x) - 18 = 0

25. Переупорядочим слагаемые:
-17 + sin^2(2x) - 8sin(x) + 4cos^3(x) - cos(x)(4 + sin(4x)) - 8sin^3(x) - 9sin^3(2x) + 17sin(x) - 8sin^2(x) = 0

26. Упростим:
-17 + sin^2(2x) - 8sin(x) + 4cos^3(x) - 4cos(x) - sin(4x)cos(x) - 8sin^3(x) - 9sin^3(2x) + 17sin(x) - 8sin^2(x) = 0

27. Сгруппируем слагаемые:
-17 - 4cos(x) + sin^2(2x) - 8sin^2(x) + 17sin(x) - 8sin^3(x) - 4sin(4x)cos(x) - 9sin^3(2x) + 4cos^3(x) = 0

28. Заменим sin^2(2x) на 1 - cos^2(2x):
-17 - 4cos(x) + 1 - cos^2(2x) - 8sin^2(x) + 17sin(x) - 8sin^3(x) - 4sin(4x)cos(x) - 9sin^3(2x) + 4cos^3(x) = 0

29. Упростим:
-16 - 4cos(x) - cos^2(2x) - 8sin^2(x) + 17sin(x) - 8sin^3(x) - 4sin(4x)cos(x) - 9sin^3(2x) + 4cos^3(x) = 0

Итак, мы получили уравнение, в котором есть различные тригонометрические функции. Для его дальнейшего решения необходимо использовать численные методы или графическое решение.