Решите дифференцированное уравнение

(y/x^2)*cos(y/x)dx-(1/x*cos y/x+2y)dy=0

Для того чтобы решить данное дифференцированное уравнение, будем использовать метод разделяющих переменных. Прежде всего, выделим все члены с dy и dx на разные стороны уравнения:

(y/x^2)cos(y/x)dx - (1/x)cos(y/x)dy - 2ydy = 0

Теперь преобразуем уравнение, чтобы получить отдельное уравнение для dx и dy. Для этого разделим оба члена уравнения на x^2cos(y/x):

(y/x^2)dx - (1/x)dy - 2ydy/cos(y/x) = 0

Теперь перепишем уравнение, разделяя переменные:

(y/x^2)dx - (1/x)dy = 2ydy/cos(y/x)

Приведем подобные члены в правой части уравнения:

(y/x^2)dx - (1/x)dy = 2ydy * sec(y/x)

Теперь разделим обе части уравнения на y и переместим x вместе с dx:

(dx/x^2) - (dy/y) = 2dy * sec(y/x) / y

Разделим обе части уравнения на x^2:

(dx/x^2)/x^2 - (dy/y)/y = 2dy * sec(y/x) / y * (1/x^2)

Упростим выражение:

(dx/x^4) - (dy/y^2) = 2dy * sec(y/x) / y * (1/x^2)

Теперь мы получили отдельное дифференциальное уравнение для dx и dy. Интегрируя это уравнение, мы сможем найти искомую функцию y(x).

Интегрируем обе части уравнения:

∫(dx/x^4) - ∫(dy/y^2) = ∫(2dy * sec(y/x) / y * (1/x^2))

Для интегрирования первого члена воспользуемся формулой интегрирования:

∫(dx/x^4) = -1/3x^3 + C1

Для интегрирования второго члена воспользуемся формулой интегрирования:

∫(dy/y^2) = -1/y + C2

Теперь интегрируем правую часть уравнения. Заметим, что правая часть содержит смешанные переменные: y и x. Чтобы упростить интегрирование, введем новую переменную u = y/x:

2∫(dy * sec(y/x) / y * (1/x^2)) = 2∫(du * sec u / x) = 2∫(sec u / x)du

Для интегрирования ∫(sec u / x)du воспользуемся формулой интегрирования:

∫(sec u / x)du = ln|sec u + tan u| / x + C3

Теперь возвращаемся к исходному виду выражения:

-1/3x^3 - 1/y + ln|sec(u) + tan(u)|/x = C

Подставляем обратно значение u = y/x:

-1/3x^3 - 1/y + ln|sec(y/x) + tan(y/x)|/x = C

Это - финальный ответ на дифференциальное уравнение. Он содержит константу интегрирования C, которую можно найти, зная начальные условия (значение функции y и соответствующее значение x).