1. Математика
  2. Решить неопределенный интеграл

Решить неопределенный интеграл


Решить неопределенный интеграл

НероКорлеоне НероКорлеоне    2   08.01.2021 21:32    0

Ответы
biobiobio biobiobio  07.02.2021 21:35

\int\limits \frac{dx}{5 + 4 \sin(x) } \\

Тригонометрическая замена:

\sin(x) = \frac{2t}{1 + {t}^{2} } \\ dx = \frac{2dt}{1 + {t}^{2} } \\ t = tg( \frac{x}{2} )

\int\limits \frac{2dt}{1 +{t}^{2} } \times \frac{1}{5 + \frac{8t}{1 +{t}^{2} } } = \\ =\int\limits \frac{ 2dt }{1 + {t}^{2} } \times \frac{1 + {t}^{2} }{5 + 5 {t}^{2} + 8t} = \\ =2 \int\limits \frac{dt}{5 + 8t +5 {t}^{2} }

выделим в знаменателе квадрат суммы/разности:

5 + 8 t+5 {t}^{2} = \\ = {( \sqrt{5}t) }^{2} +2 \times \sqrt{5} t \times \frac{4}{ \sqrt{5} } + \frac{16}{5} + \frac{9}{5} ) = \\ = {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} =

получаем:

2\int\limits \frac{dt}{ {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} } = \frac{2}{ \sqrt{5} } \int\limits \frac{ d( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } )}{ {( \sqrt{5}t + \frac{4}{ \sqrt{5} } ) }^{2} + {( \frac{ 3 }{ \sqrt{5} } )}^{2} } = \\ = \frac{2}{ \sqrt{5} } \times \frac{ \sqrt{ 5} } {3} arctg( \frac{\sqrt{5}t+\frac{4}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}}) + C= \\ = \frac{ 2 } {3} arctg( \frac{5t+4}{3}) + C=\\=\frac{ 2 } {3} arctg( \frac{5tg(\frac{x}{2})+4}{3}) + C=\\=

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
vladdobryj071 vladdobryj071  31.07.2019 05:00
Найдите точку максимума y=0.5x^2-8x+15lnx-8...
чебурек48 чебурек48  31.07.2019 05:00
Дана правильная четырёхугольная призма площадь основания 5 боковое ребро 9,найди площадь многогранника вершины абса1б1 возможно, что вопрос некорректный, т.к. писал...
andreykolomoytsev andreykolomoytsev  31.07.2019 05:00
Упершому кошику в бабусі25 курячих яєць.у другому качині.їх на 8 менше.скільки усього яєць в обох кошиках.склади план розвязаня і....
gusarova17 gusarova17  31.07.2019 05:00
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сёл, расстояние между которыми 30 км. скорость одного пешехода 6 км/ч, а второго 4 км/ч. через сколько...
matlis matlis  31.07.2019 05:00
Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 525 и 675...
Анон5сен Анон5сен  31.07.2019 05:00
Вопрос по теории вероятности. допустим 3 спортсмена из дании, 3 из австрии и 4 из россии ,найти вероятность , что четвертым участником будет российский спортсмен...
Nina2111 Nina2111  31.07.2019 05:00
Найдите значение выражения 1) 8sin 5п/12 * cos 5п/12 2) 2sin(альфа-7п)+cos (3п/2+альфа) (все это) / sin (альфа+п)...
ivanovmax ivanovmax  31.07.2019 05:00
На одной чаше весов лежат 15 апельсинов и 13 бананов. на другой чаше по 14 таких же фруктов. весы находятся в равновесии. что легче: 1апельсин или 1банан?...
Dashka6969 Dashka6969  31.07.2019 05:00
Провод длиной 60 м надо разделить на два куска так чтоб длинаодного куска оказалось длинейв 5 раз найди длину каждого кучка...
knepsuhell knepsuhell  31.07.2019 05:00
Расставь порядок действий и найди значения выражений. 69-(91-46): 3+18×4= (84: 6+18)+23×6-120: 5= 75: 25×17+2×(74-25)=...

Популярные вопросы