Привести квадратичную форму к каноническому виду, записать соответствующие преобразования координат:3x1^2+4x2^2-2x3^2+16X2X3+6X1X3

Добрый день! Прежде чем привести данную квадратичную форму к каноническому виду, давайте разберемся с основными понятиями, чтобы ответ был понятен школьнику.

Квадратичная форма - это выражение, содержащее квадраты переменных и их произведения с коэффициентами. В данном случае у нас есть квадратичная форма со следующими членами:

3x₁² + 4x₂² - 2x₃² + 16x₂x₃ + 6x₁x₃

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, мы должны разложить ее на квадраты линейных функций. Для этого используется метод дополнения квадратов.

Шаг 1. Разложим члены с квадратами переменных.

3x₁² = (sqrt(3)x₁)²
4x₂² = (2x₂)²
-2x₃² = -(sqrt(2)x₃)²

Шаг 2. Разложим члены с произведениями переменных.

16x₂x₃ = 2(sqrt(2)x₂)(2sqrt(2)x₃)
6x₁x₃ = 2(sqrt(3)x₁)(sqrt(3)x₃)

Шаг 3. Запишем новое выражение.

(sqrt(3)x₁)² + (2x₂)² - (sqrt(2)x₃)² + 2(sqrt(2)x₂)(sqrt(2)x₃) + 2(sqrt(3)x₁)(sqrt(3)x₃)

Шаг 4. Приведем новое выражение к каноническому виду.

(sqrt(3)x₁ + 2x₂ + sqrt(2)x₃)² - (sqrt(2)x₃)²

Таким образом, мы привели исходную квадратичную форму к каноническому виду:

(sqrt(3)x₁ + 2x₂ + sqrt(2)x₃)² - (sqrt(2)x₃)²

Проведенные преобразования координат:

x₁ = sqrt(3)x₁ + 2x₂ + sqrt(2)x₃
x₂ = x₂
x₃ = x₃