При каких значения параметра а система {y=x^2+8x−2, y=4a−2x имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-6 ; 2]?

Если система {y=x^2+8x−2,
                      {y=4a−2x
имеет ровно одно решение на отрезке х ∈ [-6 ; 2].  то y=4a−2x это касательная к параболе y=x^2+8x−2.

Касательная к графику функции задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0).

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

Производная функции равна f'(x) = 2x+8.

Коэффициент перед х в уравнении касательной равен производной.

2х+8 = -2.

2х = -10,

х = -5. Это значение х₀.

Находим f(х₀) = (-5)²+8*(-5)-2 = 25-40-2 = -17.

Находим f'(х₀) = 2*(-5)+8 = -10+2 = -2.

Тогда уравнение касательной имеет вид у = -2(х+5)-17 = -2х -10 -17 =

= -2х - 27.

То есть значение 4а равно -27.

Отсюда а = -27/4 = -6,25.