Построить линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью a, проходящей через точки А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2), Найти угол между плоскостью a и плоскостью XOZ.

По заданным точкам А(1; 1; -1), В(3; -1; 1) и С(2; 3; 2) составим уравнение плоскости, проходящей через эти точки.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA             y - yA             z - zA

xB - xA         yB - yA            zB - zA

xC - xA         yC - yA            zC - zA   = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1            y - 1              z - (-1)

3 - 1           (-1) - 1             1 - (-1)

2 - 1            3 - 1              2 - (-1)   = 0

x - 1            y - 1              z - (-1)

 2                -2                   2

 1                  2                    3    = 0

(x - 1)*(-2·3-2·2)  -  (y - 1)*(2·3-2·1) + (z - (-1))*(2·2-(-2)·1) = 0.

(-10)*(x - 1) + (-4)*(y - 1) + 6*(z - (-1)) = 0.

- 10x - 4y + 6z + 20 = 0.

5x + 2y - 3z - 10 = 0.

Перенесём свободный член вправо и разделим на него обе части уравнения. Получаем:

(5x/10) + (2y/10) - (3z/10) = 10/10.

(x/2) + (y/5) - (z/(10/3)) = 1. Это уравнение плоскости в отрезках.

Числа в знаменателях - это координаты на осях в точках пересечения их заданной плоскостью.

Уравнение плоскости xOz: y = 0.

Вычислим угол между плоскостями

5x + 2y - 3z - 10 = 0 и

y = 0

cos α =              |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|                      

             √(A1² + B1² + C1²) √(A2² + B2² + C2²)

cos α =          |5·0 + 2·1 + (-3)·0|                  

             √(5² + 2² + (-3)²) √(0² + 1² + 0²)       =

=            |0 + 2 + 0|                            

     √25 + 4 + 9 √0 + 1 + 0        =

=   2 /(√38* √1)  =   2 /√38 = √38 /19  ≈ 0.32444.

α = 71.068°.