Окружность с центром в точке (4;1) касается параболы y= 1/2x^2
Найти абсциссу точки касания

Пусть точка касания имеет координаты А(х; (1/2)х²).

По сути - это самая близкая точка на параболе к точке О(4; 1).

Найдём расстояние ОА:

OA² = f(x) = (x - 4)² + (((1/2)х² - 1)² = x² - 8x + 16 + (1/4)x^4 - x² + 1 =

      = (1/4)x^4 - 8x + 17.

Найдём производную этой функции.

f'(x) = x³ - 8.

Точку минимума функции найдём, приравняв производную нулю.

x³ - 8 = 0,

х = ∛8 = 2.

ответ: абсцисса точки касания х = 2.