найти координаты точки q, симметричной точке p(3; -4: 6) относительно плоскости, проходящей через точки m1(-6; 1; -5) m2(7; -2; -1)m3(10;-7;1)

Найти координаты точки Q, симметричной точке P(3; -4; 6) относительно плоскости, проходящей через точки M1(-6; 1; -5), M2(7; -2; -1), M3(10;-7;1).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA               y - yA                 z - zA

xB - xA           yB - yA               zB - zA

xC - xA          yC - yA               zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-6)         y – 1            z - (-5)

7 - (-6)       (-2) – 1        (-1) - (-5)

10 - (-6)     (-7) – 1          1 - (-5) = 0

x - (-6)         y – 1             z - (-5)

 13                -3                   4

 16                -8                   6 = 0

(x - (-6))(-3·6-4·(-8) – (y – 1)(13·6-4·16) + (z - (-5))(13·(-8)-(-3)·16) = 0

14(x - (-6)) + (-14)(y – 1) + (-56)(z - (-5)) = 0

14x - 14y - 56z - 182 = 0

x - y - 4z - 13 = 0.

Нормальный вектор этой плоскости равен (1; -1; -4) и является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Получаем уравнение перпендикуляра из точки Р(3; -4; 6).

((x – 3)/1) = (y + 4)/(-1) = ((z – 6)/(-4).

Координаты, которые имеет точка пересечения  x,y,z, должны удовлетворять уравнению прямой и уравнению плоскости. Поэтому, для их определения, необходимо решить систему уравнений, которая включает уравнение прямой и уравнение плоскости. Это система:

{((x – 3)/1) = (y + 4)/(-1) = ((z – 6)/(-4).

{x - y - 4z - 13 = 0.

Из уравнения прямой получаем зависимость переменных.

-x + 3 = y + 4, отсюда y = -x – 1.

-4x + 12 = z – 6, отсюда z = -4x + 18.

Подставим их в уравнение плоскости.

x – (-x – 1) – 4(-4x + 18) - 13 = 0,

x + x + 1 + 16x – 72 – 13 = 0,

18x = 84,

x = 84/18 = 14/3,

y = (-14/3) – 1 = -17/3,

z = -4*(14/3) + 18 = -2/3.

Найдена точка E пересечения перпендикуляра из точки Р к плоскости.

Теперь можно определить точку Q, симметричную точке Р относительно  точки Е в заданной плоскости по формуле симметрии.

x(Q) = 2*x(E) – x(P) = 2*(14/3) – 3 = 19/3.

y(Q) = 2*y(E) – y(P) = 2*(-17/3) – (-4) = -22/3.

z(Q) = 2*z(E) – z(P) = 2*(-2/3) – 6 = -22/3.

ответ: точка Q((19/3); (-22/3); (-22/3)).