1. Математика
  2. найти: для функции z =

найти: для функции z = f(x,y) найти градиент и производную по направлению a ̅ в точке A.


найти: для функции z = f(x,y) найти градиент и производную по направлению a ̅ в точке A.

VaDiMiR3000 VaDiMiR3000    3   02.01.2021 13:39    0

Ответы
катя4876 катя4876  12.02.2021 21:53

Пошаговое объяснение:

градиент функции z = f(x,y) это вектор, координатами которого являются частные производные данной функции.

grad(z) = \frac{dz}{dx} i+\frac{dz}{dy} j

частные производные

\frac{dz}{dx} =\frac{18x}{9x^2+3y^2} ;     \frac{dz}{dy} =\frac{6y}{9x^2+3y^2} ;

grad(z)=\frac{18x}{9x^2+3y^2} i +\frac{6y}{9x^2+3y^2}j

теперь в точке А(-3;9)

\frac{x}{y} grad(z)_A=\frac{18*(-3)}{9(-3)^2+3(9)^2} i +\frac{6*9}{9x^2+3(9)^2}j=-\frac{1}{6} i+\frac{1}{6} j

теперь направление

направление вектора-градиента задаётся его направляющими косинусами

cos\alpha =\frac{dz/dx}{Igrad(z)_AI} ;    cos\beta =\frac{dz/dy}{Igrad(z)_AI} ;

ищем модуль градиента в точке А

Igrad(z)_AI=\sqrt{(dz/dx)^2+(dz/dy)^2} =\sqrt{(-1/6)^2+(1/6)^2} =\frac{\sqrt{2} }{6}

cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2} } ;    cos\beta =\frac{1}{\sqrt{2} } ;

теперь  производная в точке А по направлению вектора а(9;-3).

\frac{dz}{da} = \frac{dz}{x} cos\alpha +\frac{dz}{dy} cos\beta

cos\alpha =\frac{x}{IaI} ;      cos\beta =\frac{y}{IaI} ;

IaI = \sqrt{x^2+y^2} =\sqrt{9^2+(-3)^2} =3\sqrt{10}

cos\alpha =\frac{3}{\sqrt{10} } ;   cos\beta =-\frac{1}{\sqrt{10} }

и вот

\frac{dz}{da} = -\frac{1}{6} *\frac{3}{\sqrt{10}} +\frac{1}{6} *\frac{-1}{\sqrt{10} } =-\frac{\sqrt{10} }{5}

и поскольку dz/da < 0, то заданная функция в направлении вектора a убывает.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
АксеновДА АксеновДА  28.10.2020 06:23
3. Запишите в виде несократимой дроби 147/189 400/1025​...
Mаs9n9 Mаs9n9  28.10.2020 06:23
-8,3 саны мен - 3, 1санын арасында жатқан барлық бүтін сандарды жазыныз​...
Hafs Hafs  28.10.2020 06:23
Найдите значение выражения: a) | 6,7|+|-0,32|:|-0,4 |; б) | -4,5|×| 3 3/5|-|-5,6|;...
КУМИР566 КУМИР566  28.10.2020 06:23
Комектесиндерш Алдамандарш оздерин ушин...
ApTeM098 ApTeM098  28.10.2020 06:23
1.2. Напиши вид масштаба10в 1 см 250 км Соч​...
ibra16 ibra16  28.10.2020 06:23
N(A ∩ B) = 3 , n(A) = 7, n(B) = 9 → n ( A U B ) = ?...
alenazayka200 alenazayka200  28.10.2020 06:24
Соч по матеманики 4 класс помаги...
bogdankpro bogdankpro  17.02.2021 20:11
На плане города клетками изображены кварталы, каждый из которых имеет форму квадрата со стороной 50 м. Ширина всех улиц в этом районе — 15 м. А В 1) Найди длину пути от...
Dk2205 Dk2205  17.02.2021 20:11
С 7 по 10 И можно решение и ответ...
sako9910 sako9910  17.02.2021 20:11
100б за 6 заданий. Если кто-то может ​...

Популярные вопросы