Найдите частное решение уравнения

ответ:        а )  у = ( 1 + 5х )e⁻³ˣ ; б )  s( t ) = 3t³ + t² + 5t + 4 .

Пошаговое объяснение:

a ) y '' + 6y + 9y = 0 ;   y(0) = 1 ;  y '(0) = 2 ; x₀= 0 ;

характеристичне рівняння :  k² + 6k + 9 = 0 ;  ( k + 3 )² =0 ; k₁= k ₂ = - 3 .

y = ( C₁ + C₂x)e⁻³ˣ - загальний розв"язок диф . рівняння .

y '= C₂* e⁻³ˣ - 3(C₁ + C₂x )e⁻³ˣ ;

y( 0) = 1 = ( C₁ + 0*C₂)e⁻³°⁰ ;     C₁ = 1 ;

y'( 0) = 2 = C₂*e⁻³°⁰ - 3( C₁ + C₂* 0)e⁻³°⁰ ;    C₂ - 3C₁ = 2 ; C₂ =3C₁+2 =3*1+2 =5 ;

Отже , у = ( 1 + 5х )e⁻³ˣ   - відповідь .

б ) d²s/dt² = 18t + 2 ;   s(0) = 4 ; ds/dt = 5  при t = 0 .

Інтегруємо обидві частини рівності :

ds/dt = ∫ (18t + 2)dt = 9t² + 2t + C₁ ;     ds/dt = 9t² + 2t + C₁ .

Інтегруємо ще один раз :

s( t ) = ∫ ( 9t² + 2t + C₁)dt = 9 * t³/3 + 2 * t²/2 + C₁t + C₂ = 3t³ + t² + C₁t + C₂.

При  t = 0    ds/dt = 9*0² + 2* 0 + C₁ = 5 ;  C₁ = 5 ;

s ( 0 ) =4 = 3* 0³ + 0² + C₁* 0 + C₂ ;    C₂ = 4 .

Отже , s( t ) = 3t³ + t² + 5t + 4 - шуканий частинний розв"язок