Найди площадь прямоугольного треугольника ABC, если сторона АВ = 4 см, сторона ВС = 3 см.
D
C9
A
B
1.
— 12
2.
— 6
S —
(см2)​

Пошаговое объяснение:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

1. Пусть АМ = х, тогда СМ = 3 - х.

(3 - x) : x = 3 : 2

6 - 2x = 3x

5x = 6

x = 1,2

AM = 1,2 см, СМ = 1,8 см

2. Так как MN < NK, то MP < PK.

Пусть МР = х, тогда РК = х + 0,5

4 : x = 5 : (x + 0,5)

5x = 4x + 2

x = 2

МР =2 см, РК = 2,5 см

3. DE + EP = Pdep - DP = 21 - 7 = 14 см

Пусть DE = x, тогда ЕР = 14 - х

x : 3 = (14 - x) : 4

4x = 42 - 3x

7x = 42

x = 6

DE = 6 см, ЕР = 8 см

4. Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 3.

x : 2 = (x + 3) : 3

3x = 2x + 6

x = 6

АВ = 6 см, ВС = 9 см

6. В условии опечатка: надо найти длины сторон CD и DE.

DF - диагональ ромба, а диагонали ромба лежат на биссектрисах его углов, значит DF - биссектриса треугольника.

CD + DE = Pcde - CE = 55 - 20 = 35 см

Пусть CD = х, тогда DE = 35 - х

x : 8 = (35 - x) : 12

12x = 280 - 8x

20x = 280

x = 14

CD = 14 см, DE = 21 см

7. ΔАВС, ∠С = 90°, АМ - биссектриса.

Пусть АС = х, тогда по теореме Пифагора АВ = √(х² + 81).

x : 4 = √(х² + 81) : 5

5x = 4√(х² + 81)

25x² = 16x² + 81 · 16

9x² = 81 · 16

x² = 9 · 16

x = 3 · 4 = 12

АС = 12 см

Sabc = AC · CB / 2 = 12 · 9 = 54 см²

8. Так как точка О равноудалена от катетов, СО - диагональ квадрата, а диагонали квадрата лежат на биссектрисах его углов. Значит СО - биссектриса треугольника.

а : 40 = b : 30

b = 30a / 40 = 3a/4

По теореме Пифагора:

70² = a² + 9a²/16

25a²/16 = 4900

a² = 4900 · 16 / 25 = 196 · 16

a = 14 · 4 = 56

CB = 56 см

АС = 3 · 56 / 4 = 3 · 14 = 42 см

Sabc = CB · AC / 2 = 56 · 42 / 2 = 1176 см²

9. ΔАВС: ∠В = 60°, ∠С = 40°, ⇒ ∠А = 80°.

О - точка пересечения биссектрис.

∠ОАС + ∠ОСА = (∠А + ∠С)/2 = (80° + 40°)/2 = 60°

Из ΔОАС ∠АОС = 180° - (∠ОАС + ∠ОСА) = 180° - 60° = 120°

10. ΔАВС с прямым углом С, СМ - биссектриса.

АС = АВ/2 = 2 см как катет, лежащий напротив угла в 30°.

По теореме Пифагора

ВС = √(АВ² - АС²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3 см

Пусть АМ = х, тогда МВ = 4 - х.

x : 2 = (4 - x) : (2√3)

2√3x = 8 - 2x

2x(√3 + 1) = 8

x = 4 / (√3 + 1) = 4(√3 - 1) / (3 - 1) = 2(√3 - 1)

AM = 2(√3 - 1) см

МВ = 4 - (2√3 - 2) = 6 - 2√3 = 2√3(√3 - 1) см

11. ΔАВС: ∠С = 90°, ∠А = 60°, ⇒ ∠В = 30°, тогда

АВ = 2АС = 2√3 см по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°.

По теореме Пифагора:

ВС = √(АВ² - АС²) = √(12 - 3) = √9 = 3 см

СМ - биссектриса.

Пусть АМ = х, МВ = 2√3 - х.

x : √3 = (2√3 - x) : 3

3x = 6 - √3x

x(3 + √3) = 6

x = 6 / (3 + √3) = 6(3 - √3) /(9 - 3) = 3 - √3 = √3(√3 - 1)

AM = √3(√3 - 1) см

МВ = 2√3 - 3 + √3 = 3√3 - 3 = 3(√3 - 1) см