Начерти любой прямоугольник, проведи в нем диагонали. докажи, что можно начертить окружность с центром в точке пересечения диагоналей, которая проходит через все вершины прямоугольника

 Т.к. Углы у него прямые, то стороны, имеющие одинаковые буквы, перпендикулярны, а другие - параллельны. Рассмотрим два треугольника: AOB и COD. Углы AOB и COD равны, как вертекильные, ABO=CDO, как накрест лежащие углы, DCO=BAO, ак смежные. Отсюда следует, что треугольники AOB и COD подобны. Но нам известно, что в AB и CD параллельны и заключены между двумя параллельными прямыми (Не помню точную формулировку этого свойства), следовательно AB и CD равны, а отсюда следует, что труегольники AOB и COD равны=>AO=CO. Если проделать то же самое с другими треугольниками, (BOC и AOD), то докажете, что все 4 отрезка равны, и поэтому откуржность, лежащяя в точке пересечения диагоналей и имеющая радиус рывный одному из отрезков, будет пересекать концы остальных 3-х=>лежать на всех 4 углах прямоугольника.