Полное исследование и построение графика функции ❤

Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:  

График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в -x3+3x.

у =-0^3+3*0 = 0,

Результат: y=0. Точка: (0; 0).

Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:  

График функции пересекает ось X при y=0, значит, нам надо решить уравнение:  

-x^3 + 3x= 0

Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с осью Ох:

-x(x^2 – 3) = 0.

Получаем 3 точки: х = 0, х = √3 и х = -√3.

Результат: y=0. Точки: (0; 0), (√3; 0) и (-√3; 0).

Экстремумы функции:  

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y' = -3x^2 + 3 = 0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:  

-3(х^2-1) = 0,

х1 = 1,  х2  = -1.

Результат: точки: (1; 2) и (-1; -2).

Интервалы возрастания и убывания функции:  

Находится производная, приравнивается к 0, найденные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.  

На промежутках находим знаки производной

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -2 -1 0 1 2

y' = -9 0 3 0 -9

• Минимум функции в точке: х = -1,

• Максимум функции в точке: х = 1.

• Возрастает на промежутке: (-1; 1).

• Убывает на промежутках: (-∞; -1) U (1; +∞).

Точки перегибов графика функции:  

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.  

Нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:  

y'' = -6x = 0.

Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:  

x=0. Точка: (0; 0).

Интервалы выпуклости, вогнутости:  

Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов.

Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

• Вогнутая на промежутках: (-∞; 0),  

• Выпуклая на промежутках: (0; ∞).  

Вертикальные асимптоты – нет.  

Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соответствующие пределы находим:  

• lim -x3+3x, x->+∞ =- ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует

• lim -x3+3x, x->-∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.

Наклонные асимптоты графика функции.  

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы:  

• lim -x3+3x/x, x->+∞ = -∞, значит, наклонной асимптоты справа не существует

• lim -x3+3x/x, x->-∞ = ∞, значит, наклонной асимптоты слева не существует

Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию -  четна или нечетна с соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:  

• f(-x) = -(-x)3+3(-x) =  x3-3x  - нет f(-x) ≠ f(x).

• f(-x) = -(-x)3+3(-x)) = -(-x3+3x) – да f(-x)=-f(x), значит, функция является нечётной.