Мерлин задумал прокопать тайный подземный ход длиной 196 метров от своего дома до королевского замка. Бригада гномов берет 70 золотых за 1-й метр подземного хода и за каждый следующий метр на 14 золотых больше, чем за предыдущий. Также гномы требуют: по окончании работ выставить угощение для каждого гнома на сумму 80 золотых и выплатить каждому по 920 золотых премиальных. Бригада гоблинов золотых за 1-й метр подземного хода и на 15 золотых больше за каждый следующий метр и ничего больше. Какое наибольшее количество гномов может быть в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее иметь дело с ними, а не с гоблинами?

Для решения этой задачи нам нужно сравнить стоимость работ гномов и гоблинов. Для этого мы должны вычислить стоимость работ для каждой группы и сравнить их.

Построим формулы для стоимости работ гномов и гоблинов.

Для гномов:
Стоимость за первый метр - 70 золотых
Стоимость за второй метр - 70 + 14 = 84 золотых
Стоимость за третий метр - 70 + 2*14 = 98 золотых
и так далее.

Таким образом, стоимость подземного хода длиной 196 метров для гномов составит:
70 + 84 + 98 + ... + X,

где X - стоимость последнего метра подземного хода для гномов.

Для гоблинов:
Стоимость за первый метр - Y золотых
Стоимость за второй метр - Y + 15 золотых
Стоимость за третий метр - Y + 2*15 золотых
и так далее.

Таким образом, стоимость подземного хода длиной 196 метров для гоблинов составит:
Y + (Y + 15) + (Y + 2*15) + ... + Z,

где Z - стоимость последнего метра подземного хода для гоблинов.

Теперь мы можем составить уравнение для сравнения стоимости работ гномов и гоблинов:

70 + 84 + 98 + ... + X = Y + (Y + 15) + (Y + 2*15) + ... + Z.

Для упрощения вычислений мы можем представить каждую сумму в уравнении в виде арифметической прогрессии и применить формулу для нахождения суммы последовательности.

Формула для суммы арифметической прогрессии имеет вид: S = (n/2)(a + b), где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии, b - последний член прогрессии, n - количество членов прогрессии.

Применим эту формулу для нашего уравнения:

(196/2)(70 + X) = (196/2)(Y + Z + 15).

Мы можем сократить на общий множитель и упростить уравнение:

70 + X = Y + Z + 15.

Теперь мы можем упростить уравнение и найти связь между X и Z:

X - Z = Y - 55.

Зная, что X и Z являются членами арифметической прогрессии, мы можем установить, что разность между ними должна быть кратна их общему шагу изменения. В данном случае шаг изменения равен 14 (по условию задачи).

Для нахождения наибольшего количества гномов в бригаде, такое что Мерлину было бы выгоднее иметь дело с ними, а не с гоблинами, нам нужно найти наибольшее значение разности X - Z, которое кратно 14.

Наибольшее значение разности X - Z, которое кратно 14, можно получить, если X и Z будут наибольшим и наименьшим членами арифметической прогрессии, соответственно.

Таким образом, наибольшее количество гномов в бригаде можно найти путем нахождения разности X - Z при наибольшем и наименьшем значении X и Z, соответственно.

Подставив X = 196 и Z = 0 в уравнение X - Z = Y - 55, получим:

196 - 0 = Y - 55
196 = Y - 55
Y = 251.

Таким образом, наибольшее количество гномов в бригаде, чтобы Мерлину было выгоднее, составляет 251 человек.