Это высшая на украинском языке .дано координати 4 вершин піраміди abcd. a(3; 2; 1); b(5; 7; 9); c(2; 0; 1); d(3; 0; 11; ). 1) знайти довжину ребра ab; 2) скласти рівняння прямихab і bc; 3)обчислити кут між ребрами ab і bc; 4) скласти рівняння abc; 5) обчислити площу трикутника abc; 6) обчислити об'єм abcd . люди добрые

Дано координати 4 вершин піраміди ABCD:  

A(3;2;1);B(5;7;9);C(2;0;1);D(3;0; 11;).  

1) |AB| = √((5-3)² + (7-2)² + (9-1)²) = √(4 + 25 + 64) = √93 ≈ 9,64365.  

2) AB: (x - 3)/2 = (y - 2)/5 = (z - 1)/8 это каноническая форма,

{x = 2t + 3  

{y = 5t + 2  

{x = 8t + 1 это параметрическое уравнение прямой АВ.

BC: (x - 5)/(-3) = (y - 7)/(-7) = (z - 91)/(-8) это каноническая форма,

{x = - 3t + 5  

{y = - 7t + 7  

{x = - 8t + 9 это параметрическое уравнение прямой BC.

3) кут між ребрами AB і BC;  

Находим скалярное произведение AB і BC:

AB* BC = 2*(-3) + 5*(-7) + 8(-8) = -6 - 35 - 64 = -105.

Модули: АВ = √93 (определен выше),

ВС = √((-3² + (-7)² + (-8)²) = √(9 + 49 + 64) = √122.

cos(AB∧BC) = |-105|/(√93*√122) = 0,9858.  

Угол равен 0,16901 радиан или 9,6833 градуса.

4) Рівняння ABC.

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости АВС получим из выражения:              

(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, получаем уравнение:

АВС: 16x - 8y + 1z - 33 = 0.

Это же уравнение можно получить матричным

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA   =  0.

Подставим данные и упростим выражение:

x - 3          y - 2 z - 1

5 - 3 7 - 2        9 - 1

2 - 3 0 - 2 1 - 1       = 0

x - 3   y - 2        z - 1

 2           5     8

-1          -2          0       = 0

(x - 3) ( 5·0-8·(-2))  -  (y - 2)  (2·0-8·(-1))  +  (z - 1)  (2·(-2)-5·(-1))  = 0

16 x - 3  + (-8) y - 2  + 1 z - 1  = 0

16x - 8y + z - 33 = 0.

5) Площа трикутника ABC определяется по Герону.

a(ВС)   b(АС)      c(АВ)      p             2p    S

11,0454 2,2361 9,6437 11,4625 22,9251 8,958

 122    5           93         (это квадраты сторон)  

cos A = -0,5565 cos B = 0,9858 cos С = 0,68831

Аrad = 2,16095 Brad = 0,16901 Сrad = 0,81164

Аgr = 123,8132 Bgr = 9,6833 Сgr = 46,5035

6) Об'єм ABCD.

Находится как (1/6) смешанного произведения (AB*AC)*AD.

                                                          x y z

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}   2 5 8

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}   -1 -2 0

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}   0 -2 10

Объем пирамиды равен:        

(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3        Произведение векторов      

a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.

                    ABC [AB ; AC] = 16 -8 1

 Объем пирамиды  

               x y z

AB*AC      16 -8 1

AD                 0 -2 10

Произвед 0 16 10   сумма = 26.

V = (1/6) * 26 = 4,3333.