1. Математика
  2. Доказать,что если углы треугольника

Доказать,что если углы треугольника связаны равенством: cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)=1, то треугольник - прямоугольный.

НастюшаКороткая НастюшаКороткая    1   03.09.2019 16:40    1

Ответы
Lerka1217 Lerka1217  16.08.2020 09:12
Упорядочим по возрастанию углы треугольника A \leq B\leq C

Очевидно, что C\geq\pi/3\qquad A+B\leq 2\pi/3

Если первое не выполнится, то сумма углов треугольника будет заведомо меньше π, а второе следует из первого. Также заметим, что если в треугольнике и есть тупой угол, то это угол С, а углы A и B гарантированно острые

Преобразуем

\cos^2(A)+\cos^2(B)+\cos^2(\pi-A-B)=1\\ 1+\cos(2A)+1+\cos(2B)+2\cos^2(A+B) = 2\\ \cos(2A)+\cos(2B)+2\cos^2(A+B)=0\\ 2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2(A+B)=0\\ \cos(A+B)[\cos(A+B)+\cos(A-B)]=0\\
2\cos(A+B)\cos(A)\cos(B)=0

Так как углы острые, остается единственный вариант:
A+B=π/2.
C = π-A-B = π/2
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
RitaAvakyan1 RitaAvakyan1  03.12.2021 20:34
Видеорегистратор на дороге в первый день зафиксировал на 143 машины больше, чем за второй день, и на 95 машин меньше, чем за третий.На сколько больше машин было зарегистрировано...
zymzym55 zymzym55  03.12.2021 20:34
1.16 Найти область определения Z=((x^3)*y/(3+x-y)...
эля792 эля792  03.12.2021 20:34
В одном бассейне в три раза больше воды, чем в другом. Если налить 30 тонн из первой во вторую, то количество воды во второй будет 2/3 от количества воды в первой емкости.Сколько...
bondarantona bondarantona  03.12.2021 20:33
Найти 4-значное число, сумма цифр которого равна 10, и кратно 12...
Amina21777 Amina21777  03.12.2021 20:32
Асхат задумал число. это задуманное число он умножил на (-6), затем к полученному ответу прибавил 26,8 и в результате получил число 8,8. Какое число задумал Асхат?...
khairulliniljap00rzn khairulliniljap00rzn  03.12.2021 20:31
ДАЮ 45 Б. 6 класс, математика. известно что.. х=2/15у,у=5/6z решите !...
ДашаШирова ДашаШирова  03.12.2021 20:29
Решите уравнение. Смотреть фото ниже...
1234567890Плюша 1234567890Плюша  03.12.2021 20:28
Взаимно обратные числа. Урок 2 28 11 Вычисли: 11 (а – 2 13 b) - с, если а = 10 2 = 7 67 13, b = 2. с ответ: - Назад Проверить...
goverdovskay123 goverdovskay123  03.12.2021 20:28
Для перевезення 60 т вантажу потрібна деяка кількість машин. Через ремонт дороги на кожну машину довелося навантажити на 0,5 т менше, ніж передбачалося, тому було додатково залучено...
Vikof Vikof  03.12.2021 20:25
Відрізок АВ завдовжки 18 см точкою С поділено у відношенні 3 : 5. найдіть довжину кожної частини...

Популярные вопросы