. Даны вершины треугольника ABC A (10;-2) B(4;-5) C(-3;1). Найти: 1) уравнение стороны AB,
2) уравнение высоты CH,
3) уравнение медианы AM,
4) точку N пересечения медианы AM и высоты CH, уравнение

Для решения этой задачи нам понадобится знание о свойствах треугольников и умение работать с координатами точек.

1) Чтобы найти уравнение стороны AB, мы можем воспользоваться формулой для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки.
Уравнение прямой в общем виде имеет вид y = mx + c, где m - это наклон прямой, а c - ее смещение по оси y.

Для нахождения уравнения стороны AB нам нужно найти наклон прямой и смещение по оси y, используя координаты точек A и B.

Координаты точки A: A(10, -2)
Координаты точки B: B(4, -5)

Наклон прямой вычисляется по формуле m = (y2 - y1) / (x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек.

m = (-5 - (-2)) / (4 - 10) = -3 / (-6) = 1/2

Теперь мы знаем наклон прямой. Чтобы найти смещение по оси y, мы можем использовать одну из известных нам точек и подставить их в уравнение прямой.

Выберем точку A(10, -2):

-2 = (1/2) * 10 + c
-2 = 5 + c
c = -7

Таким образом, уравнение стороны AB имеет вид y = (1/2)x - 7.

2) Чтобы найти уравнение высоты CH, мы можем воспользоваться свойствами треугольника, согласно которым высота проходит через вершину треугольника и перпендикулярна соответствующей стороне.

Высота CH проходит через вершину C и перпендикулярна стороне AB. Значит, наклон высоты CH будет равен -1/m, где m - это наклон стороны AB.

Наклон стороны AB равен 1/2, поэтому наклон высоты CH будет равен -2.

У нас также есть точка, через которую проходит высота CH - это вершина C(-3, 1).

Используя формулу для уравнения прямой, учитывая найденные наклон и точку, мы получим:

y - 1 = (-2)(x - (-3))
y - 1 = -2x - 6
y = -2x - 5

Таким образом, уравнение высоты CH имеет вид y = -2x - 5.

3) Для нахождения уравнения медианы AM мы знаем, что медиана делит сторону на две равные части. То есть, координаты точки M будут равны средним значениям координат точек A и B.

Координаты точки A: A(10, -2)
Координаты точки B: B(4, -5)

x-координата точки M будет равна среднему значению x-координат точек A и B: (10 + 4) / 2 = 14 / 2 = 7.
y-координата точки M будет равна среднему значению y-координат точек A и B: (-2 + (-5)) / 2 = -7 / 2 = -3.5.

Таким образом, координаты точки M равны M(7, -3.5).

Уравнение медианы AM будет иметь такую же форму, как уравнение стороны AB - y = mx + c.

Мы можем использовать координаты точек A и M для нахождения уравнения медианы AM:

m = (-3.5 - (-2)) / (7 - 10) = -1.5 / (-3) = 1/2

Выбираем точку A(10, -2):

-2 = (1/2) * 10 + c
-2 = 5 + c
c = -7

Таким образом, уравнение медианы AM имеет вид y = (1/2)x - 7.

4) Найдем точку пересечения медианы AM и высоты CH, используя уравнения, которые мы уже нашли.

Итак, у нас есть уравнения:
уравнение медианы AM: y = (1/2)x - 7
уравнение высоты CH: y = -2x - 5

Чтобы найти точку пересечения, мы должны решить систему уравнений:

(1/2)x - 7 = -2x - 5

Для начала избавимся от дроби, умножив оба выражения на 2:

x - 14 = -4x - 10

Теперь соберем все x-термы в одну часть и числа в другую:

x + 4x = -10 + 14
5x = 4
x = 4/5

Теперь подставим найденное значение x в одно из уравнений, чтобы найти y. Для примера, возьмем уравнение медианы AM:

y = (1/2)(4/5) - 7
y = 2/5 - 7
y = -33/5

Таким образом, точка N пересечения медианы AM и высоты CH имеет координаты N(4/5, -33/5).

Наконец, уравнение точки N будет иметь такую же форму, как и другие уравнения прямых - y = mx + c. Мы можем использовать координаты точки N и выбрать любое из найденных уравнений, например, уравнение медианы AM:

-33/5 = (1/2)(4/5) + c
-33/5 = 4/10 + c
-33/5 = 2/5 + c
c = -35/5 = -7

Таким образом, уравнение точки N имеет вид y = (1/2)x - 7.